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1、一、 相似三角形鉴定的基本模型结识(一)A字型、反A字型(斜A字型) (平行) (不平行)(二)8字型、反8字型(蝴蝶型) (平行) (不平行)(三)母子型 (四)一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五)一线三直角型:(六) 双垂型: 相似三角形鉴定的变化模型旋转型:由A字型旋转得到。 8字型拓展共 享 性 一线三等角的变形 一线三直角的1如图,梯形ABCD中,ADBC,对角线AC、BD交于点O,BECD交CA延长线于E求证:OC2=OAOE2如图,在ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上(不与B,C重叠)一动点,ADE=B=,DE
2、交AC于点E下列结论:AD2=AEAB;3.6AE10;当AD=2时,ABDDCE;DCE为直角三角形时,BD为8或12.5其中对的的结论是(把你觉得对的结论的序号都填上)3已知:如图,ABC中,点E在中线AD上,DEB=ABC求证:(1)DB2=DEDA;(2)DCE=DAC4已知:如图,等腰ABC中,AB=AC,ADBC于D,CGAB,BG分别交AD、AC于E、F求证:BE2=EFEG5如图,已知AD为ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线求证:FD2=FBFC6已知:如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一种动点,PDAB,交边AC于点D(点D与点A、C都
3、不重叠),E是射线DC上一点,且EPD=A设A、P两点的距离为x,BEP的面积为y(1)求证:AE=2PE;(2)求y有关x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当BEP与ABC相似时,求BEP的面积7如图,在ABC中,A=60,BD、CE分别是AC与AB边上的高,求证:BC=2DE8如图,已知ABC是等边三角形,点D、B、C、E在同一条直线上,且DAE=120(1)图中有哪几对三角形相似?请证明其中的一对三角形相似;(2)若DB=2,CE=6,求BC的长9(已知:如图,在RtABC中,AB=AC,DAE=45求证:(1)ABEDCA;(2)BC2=2BECD10如图,在等边ABC中,边长为6
4、,D是BC边上的动点,EDF=60(1)求证:BDECFD;(2)当BD=1,CF=3时,求BE的长11(1)在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重叠),且保持APQ=ABC若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD的边长为5(如图),点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重叠),且保持APQ=90度当CQ=1时,写出线段BP的长(不需要计算过程,请直接写出成果)13已知梯形ABCD中,ADBC,且ADBC,AD=5,AB=DC=
5、2(1)如图,P为AD上的一点,满足BPC=A,求AP的长;(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重叠),且满足BPE=A,PE交直线BC于点E,同步交直线DC于点Q当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y有关x的函数关系式,并写出自变量x的取值范畴;当CE=1时,写出AP的长(不必写解答过程)14如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD=BC=6,AD=3点M为边BC的中点,以M为顶点作EMF=B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF(1)求证:MEFBEM;(2)若BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;(3)若EFCD,求BE的长15已
6、知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2求证:BEPCPD;(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重叠),且满足EPF=C,PF交直线CD于点F,同步交直线AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时,设BP=x,DF=y,求y有关x的函数解析式,并写出函数的定义域;当时,求BP的长16如图所示,已知边长为3的等边ABC,点F在边BC上,CF=1,点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,(1)写出图中与BEF相似的三角形;(2)证明其中一对三角形相似
7、;(3)设BE=x,MN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范畴;(4)若AE=1,试求GMN的面积17如图所示,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一种动点(与A、D不重叠),过点P作PECP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,(1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范畴;(2)如果PCD的面积是AEP面积的4倍,求CE的长;(3)与否存在点P,使APE沿PE翻折后,点A落在BC上?证明你的结论18如图,在RtABC中,C=90,AB=5,点D是BC的中点,点E是AB边上的动点,DFDE交射线AC于点F(1)求AC和BC的长;(2)当EFBC时,
8、求BE的长;(3)连接EF,当DEF和ABC相似时,求BE的长19如图,在RtABC中,C=90,AC=BC,D是AB边上一点,E是在AC边上的一种动点(与点A、C不重叠),DFDE,DF与射线BC相交于点F(1)如图2,如果点D是边AB的中点,求证:DE=DF;(2)如果AD:DB=m,求DE:DF的值;(3)如果AC=BC=6,AD:DB=1:2,设AE=x,BF=y,求y有关x的函数关系式,并写出定义域;以CE为直径的圆与直线AB与否可相切?若也许,求出此时x的值;若不也许,请阐明理由20如图,在ABC中,C=90,AC=6,D是BC边的中点,E为AB边上的一种动点,作DEF=90,EF
9、交射线BC于点F设BE=x,BED的面积为y(1)求y有关x的函数关系式,并写出自变量x的取值范畴;(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切,求线段BE的长;(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积21如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=4,tanC=,ADC=DAB=90,P是腰BC上一种动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q(图1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积;(2)当PQ=DQ时,求BP的长;(图2)(3)设BP=x,CQ=y,试求y有关x的函数解析式,并写出定义域1.解答:证明:ADBC,=,又BECD,=,=,即OC
10、2=OAOE2. 解答:解:AB=AC,B=C,又ADE=BADE=C,ADEACD,=,AD2=AEAB,故对的,易证得CDEBAD,BC=16,设BD=y,CE=x,=,=,整顿得:y216y+64=6410x,即(y8)2=6410x,0x6.4,AE=ACCE=10x,3.6AE10故对的作AGBC于G,AB=AC=10,ADE=B=,cos=,BC=16,AG=6,AD=2,DG=2,CD=8,AB=CD,ABD与DCE全等;故对的;当AED=90时,由可知:ADEACD,ADC=AED,AED=90,ADC=90,即ADBC,AB=AC,BD=CD,ADE=B=且cos=,AB=1
11、0,BD=8当CDE=90时,易CDEBAD,CDE=90,BAD=90,B=且cos=AB=10,cosB=,BD=故对的故答案为:3. 解答:证明:(1)在BDE和DAB中DEB=ABC,BDE=ADB,BDEADB,BD2=ADDE(2)AD是中线,CD=BD,CD2=ADDE,又ADC=CDE,DECDCA,DCE=DAC4. 解答:证明:连接CE,如右图所示,AB=AC,ADBC,AD是BAC的角平分线,BE=CE,EBC=ECB,又ABC=ACB,ABCEBC=ACBECB,即ABE=ACE,又CGAB,ABE=CGF,CGF=FCE,又FEC=CEG,CEFGEC,CE:EF=E
12、G:CE,即CE2=EFEG,又CE=BE,BE2=EFEG5. 解答:证明:连接AF,AD是角平分线,BAD=CAD,又EF为AD的垂直平分线,AF=FD,DAF=ADF,DAC+CAF=B+BAD,CAF=B,AFC=AFC,ACFBAF,即=,AF2=CFBF,即FD2=CFBF6. 解答:解:(1)APD=C=90,A=A,ADPABC,=,EPD=A,PED=AEP,EPDEAP=AE=2PE(2)由EPDEAP,得=,PE=2DE,AE=2PE=4DE,作EHAB,垂足为点H,AP=x,PD=x,PDHE,=HE=x又AB=2,y=(2x)x,即y=x2+x定义域是0x另解:由EPDEAP,得=,PE=2DEAE=2PE=4DEAE=x=x,SABE=x2=x,=,即=,y=x2+x定义域是0x(3)由PEHBAC,得=,PE=x=x当BEP与ABC相似时,只有两种情形:BEP=C=90或EBP=C=90(i)当BEP=90时,=,=解得x=y=x5+=(ii)当EBP=90时