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1、直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1. 直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.人0,直线和圆相交.八=0,直线和圆相切.AV0,直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.dv R,直线和圆相交.d=R,直线和圆相切.d R,直线和圆相离.2. 直线和圆相切， 这类问题主要是求圆的切线方程. 求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 .点击双基1. (2
2、005年北京海淀区期末练习题) 设m0,则直线2z X x+y) +1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=L上，圆半径为4m.2d r = 1-m Vm=- (m- 2 7m+1) =- (yZ 1) 2 0,222.直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2+y2 4x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于A. 6B. 5-C.1D.5解析：圆心到直线的足隔为答案：A3. (2004年全国卷田，4)A.x+TSy 2=0C.x 3 y+4=0解法一：，半径为后，弦长为2诉)2 (芋)2=芯.圆x2+y24
3、x=0在点P (1, V3)处的切线方程为B.x+v13y-4=0D.x /3y+2=022+y2 4x=0y=kx k+y3x2 4x+ (kx k+j3) 2=0.该二次方程应有两相等实根，即 八=0,解得k=与.y 5/3 = (x1),即 xJ3y+2=0.3解法二：二点(1,有)在圆x2+y2 4x=0上，.，点P为切点，从而圆心与 P的连线应与切线垂直又二圆心为2, 0),k= 1.解得k=，切线方程为x-；3y+2=0.3答案：D4. (2004年上海，理8)圆心在直线2xy 7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, 4)、B (0, 2),则圆C的方程为.解析：圆 C与 y 轴交于
4、 A (0, 4), B (0, 2),由垂径定理得圆心在 y=- 3这条直线上.又已知圆心在直线 2x y 7=0上,y=-3,2xy7=0.圆心为(2, 3),半径 r=|AQ= . 22 3-( 4)2= 5.，所求圆C的方程为(x-2) 2+ (y+3) 2=5.答案：(x-2) 2+ (y+3) 2=55.若直线y=x+k与曲线 x=丁丁 恰有一个公共点，则 k的取值范围是 .解析：利用数形结合.答案：1vk&1 或 k= 四典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x 6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且OPLOQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OPL
5、OQ所以koP- koc=1,问题可解.解：将 x=3 2y 代入方程 x2+y2+x6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0.设 P (xi, y。、Q(x2, y2),则 y1、y2满足条件y i+y2=4, y1y2=. OPL OQ，XiX2+yiy2=0.而 xi=32yi, X2=3 2y2, . XiX2=9 6 (yi+y2) +4y2. .m=3,此时A0,圆心坐标为(一1,3),半径r = -. 22评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑【例2】 求经过两圆(x+3) 2+y2=13和
6、x2+ (y+3) 2=37的交点，且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组(x+3) 2+y2=13,x2+ (y+3) 2=37由圆心在直线x y 4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为(x+3) 2+y213+入x2+ (y+3) 2 37 =0, 再由圆心在直线xy4=0上，定出参数 入，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆(x+3) 2+y2=13和x2+(y+3) 2=37的交点，所以设所求圆的方程为(x+3) 2+y213+入x2+ (y+3) 2-37 =0.2、展开、配方、整理，得(x+ ) 2+ (y+)
7、 2=4 28 +91)-.111(1)2圆心为(一 73一，- -3),代入方程x y 4=0,得人二- 7.故所求圆的方程为(x+1) 2+ (y+Z) 2=竺. 222评述：圆 C: x2+y2+Dx+Ey+F1=0,圆 G： x2+y2+Dx+Ey+F2=0,若圆 C、C2相交， 那么过两圆公共点的圆系方程为( x2+y2+Dx+Ey+F1)+入(x2+y2+Dx+Ey+F2)=0 (入 G R且入手一1).它表示除圆G以外的所有经过两圆 。、C2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若入=1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】 已知圆 C: (x-1) 2+ (y-2
8、) 2 = 25,直线 l : (2n+1) x+ (m+1) y- 7m-4=0 ( mE R).(1)证明：不论 m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.(1)证明：l 的方程(x+y-4) +m (2x+y 7) =0.2 x+y 7=0,4x=3,x+y 4=0,y=1,即l恒过定点A (3, 1)圆心 C (1,2), 1AC1=痣5(半径)，.，点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.(2)解：弦长最小时，l AC,由6c= - 1,2l 的方程为 2x-y-5=0.评述：若定点A在圆外，要
9、使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练夯实基础1 .若圆(x3) 2+ (y+5) 2=r2上有且只有两个点到直线 4x3y=2的距离等于 1,则半径r的范围是A.(4,6) B.4,6)C.(4,6 D.4,6解析：数形结合法解.答案：A2. (2003年春季北京)已知直线 ax+by+c=0 (abc乎0)与圆x2+y2=1相切，贝三条边长分别为I a I、I b I、I cI的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得 1a .b 0.c|=i,即 c2=a2+b2, .由 1 a|、| b|、1 c1 构成
10、.a又圆与直线y=1相切，则0- （1） =、一，即m=3,，m=V3.答案：,34. （2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2 6x 2y 15=0所截得的弦长 等于.解析：由 x2+y2 6x 2y - 15=0,得（x 3） 2+ （y1） 2=25.知圆心为（3, 1）, r=5. b2的三角形为直角三角形 .答案：B3. （2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx 1=0与直线y=1相切，且其圆心4在y轴的左侧，则m的值为.2解析：圆方程配方得（x+m） 2+y2=2,圆心为（m, 0）. 242由条件知一m0.2由点（3, 1）到直线x+2y=0的距离d=|3
11、 2|=J5.x. 5可得1弦长为2s 弦长为4J5. 2答案：4,55 .自点A ( 3, 3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在 的直线与圆x2 + y24x4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解：圆(x 2) 2+ (y2) 2=1关于x轴的对称方程是(x2) 2+ (y+2) 2 =1.设l方程为y3= k (x+3),由于对称圆心(2, 2)至M距离为圆的半径1,从而可得k1 = j，k2=故所求l的方程是3x + 4y3=0或4x+3y + 3= 0.6 .已知M (x, y)是圆x2+y2=r2 (r0)内异于圆心的一点，则直线xox+yoy=r2与此圆有何
12、种位置关系？分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.2解：圆心 O (0, 0)到直线xox+yoy=2的距离为d= , r =.x2 y2P (x。, v。)在圆内,xx(2 y2 r,故直线和圆相离.培养能力7.方程ax2+ay24 (a1) x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：(1) V a才 0 时，方程为x2(?) 2+ (y+2 ) 2=4(r2a 2), aaa由于a22a+20恒成立，二. a才0且aGR时方程表示圆.2(2) r2=4 - a_2a_=4 2(1-1)2+1 , a2a 22 a=2 日寸，rmin =2.此时圆的方程为(x
13、1) 2+ (y-1) 2=2.8.(文)求经过点 A ( 2, 4),且与直线l : x+3y 26=0相切于(8, 6)的 圆的方程.解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有方程组%D E= 36,2D+4E- F=20,8D+6E+F=100. A11,氏3,F=30.，圆的方程为 x2+y2llx+3y 30=0.(理)已知点P是圆x2+y2=4上一动点,定点 Q (4, 0).(1)求线段PQ中点的轨迹方程；(x 2) 2+y2=1.(2)设/ POQ勺平分线交PQ于R,求R点的轨迹方程.解：(1)设PQ中点M(x, y),则P(2x-4, 2y),代入圆的方程得|PR|
14、|OP| 1(2)设 R (x, y),由 |=| =-, |RQ| |OQ| 2设Pn),则有代入x2+y2=4中，得(x 4) 2+y2=16 (y*0). 39探究创新点N到直线PM9.已知点P到两个定点M(1, 0)、N (1, 0)距离的比为瓢, 的距离为1,求直线PN的方程.解：设点P的坐标为(x, y),由题设有中=技，|PN|即、：(x 1)2 y2=V , J(x 1)2 y2 ,整理得 x2+y26x+1=0.因为点N到PM勺距离为1, |MI|=2,I所以/ PMN30 ,直线PM勺斜率为土 受.3直线pm勺方程为y=三(x+i).将代入整理得 X2 4x+1=0.解得 Xi=2+J3 , X2=2- 翼.代入得点 P的坐标为(2+V3, 1 + 3)或(26，1+看)；(2+V3, - 1 73 )或(2 3 , 1 33 ).直线PN的方程为y=x1或y= x+1.思悟小结1 .直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交 .判定方法有
