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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（理工农医类） 本试卷共22道题，满分150分考试时间120分钟第卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期T= .2若 .3在等差数列中，a5=3, a6=2,则a4+a5+a10= 4在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短 时，点B的极坐标是 5在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6设集合A=x|x|0, 则集合x|xA且= .7在ABC中
2、，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则ABC= .（结果用反三角函数值表示）8若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= .9某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10方程x3+lgx=18的根x .（结果精确到0.1）11已知点其中n的为正整数.设Sn表示ABC外接圆的面积，则= .12给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学
3、生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13下列函数中，既为偶函数又在（0，）上单调递增的是（ ）Ay=tg|x|.By=cos(x).CD.14在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）A、
4、都垂直于平面r.B内存在不共线的三点到的距离相等.Cl，m是内两条直线，且l，m.Dl，m是两条异面直线，且l，m, l，m.15a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件D既非充分又非必要条件.16f()是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）A若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1，2b0,则方程g（）=0有大于2的实根.C若a0,b=2,则方程g（
5、）=0有两个实根.D若a1,b0,且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=axM； （3）若函数f(x)=sinkxM ,求实数k的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）1. 2. 349 . 4. 5arctg2. 61,3.7 8的一组数）. 9 102.6 .114 12|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题 号13141516代 号CDDB三、（第17题至第22题）17解 故的最大值为最小值为.18解连结BD，因为B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以B
6、D=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以B1DB=30，于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.19解（1） （2）归纳概括的结论为：若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则20解（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）解一由椭圆方程，得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解二由椭圆方程，得 于是得以下同解一.21解（1）设得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直线
7、OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，1），半径为.设圆心（3，1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10.（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.22解（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因为函数f(x)=ax（a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=
8、x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M.当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因为k0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2m, mZ . 当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .综合得，实数k的取值范围是k|k= m, mZ
