圆周率π的计算历程

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1、周率n的计算历程圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者 们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一 点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作 为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历 史，人类对n的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。n的研究，在 一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算 得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪 初，求圆周率的值应

2、该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫 长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。实验时期通过实验对n值进行估算，这是计算n的的第一阶段。这种对n值的估算基本上 都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界， 实际上长期使用n =3这个数值。最早见于文字记载的有基督教圣经中的章节，其上 取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国 等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流 传。我国第一部周髀算经中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国

3、，木工师傅有 两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周 长大约是3,边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率n和 V2这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后 人称之为“古率”。早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数 粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值由此， 得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公 元前六世纪，曾取n = V10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新

4、朝王莽令刘歆制造量的容 器一一律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是 通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别 取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的 结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合 适了。几何法时期凭直观推测或实物度量，来计算n值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一 常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量

5、的、能够把n的 值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此2V2 V n V 4。当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。阿 基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文圆的测定之中。在这一书 中，阿基米德第一次创用上、下界来确定n的近似值，他用几何方法证明了 “圆周长与圆 直径之比小于3+(1/7)而大于3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种 方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒 密得出n =3.1416，取得了自阿

6、基米德以来的巨大进步。ECF割圆术不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的 割圆术，得出n =3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术 的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正 多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。 另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的 几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有 4位有效数字的圆周率 n = 3927/1250 =3.14

7、16。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果， 需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中 最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，隋书律历志有如下记载： “宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九 毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径 一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率3.1415926 V n V

8、3.1415927其二是，得到n的两个近似分数即：约率为22/7；密率为355 / 113。他算出的n的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百 多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才 能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为 他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的 话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否 还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，

9、因为记载其研究成果的著作缀 术早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。中国发行的祖冲之纪念邮票祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了 祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖 冲之命名的环形山对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似 地表示n这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。密率与n的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。 数学史家梁宗巨教授验证出:分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近n的分

10、数。 在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一 结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历 来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜 测。让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22/7与托勒密的结果377 / 120 用类似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106

11、V n V 377/120,用 两者作为n的母近似值，分子、分母各取平均,通过加成法获得结果：3 (15+17)/(106+120) =355/113。两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。在日本，十七世纪关孝和重要著作括要算法卷四中求圆周率时创立零约术，其实质 就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约 率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不 足、过剩近似值就近加成的办法，(实际上就是我们前面已经提到的加成法)这样从3、4 出发，六次加成到约率，第七次出现25/8，就近与其紧邻的22/7加成，

12、得47/15，依次 类推，只要加成23次就得到密率。钱宗琮先生在中国算学史(1931年)中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承 天首创的“调日法”或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157 / 50，约 率22/7为母近似值，并计算加成权数x=9,于是(157 + 22X,9) / (50+7X9) = 355/113, 一举得到密率。钱先生说：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。”另一种推测是：使用连分数法。由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在九章算术成书时代已流行，所以借 助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈二数之后， 再使用这

13、个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3, 22 / 7, 333 / 106, 355 / 113, 102573 / 32650最后，取精确度很高但分子分母都较小的355 / 113作为圆周率的近似值。至于上面圆 周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国 李约瑟博士持这一观点。他在中国科学技术史卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说： “密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。”我国再回过头来看一下国外所取得的成果。1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出n = 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细

14、 亚地区的天文学家、数学家卡西著圆周论，计算了3X228=805,306,368边内接与外切 正多边形的周长，求出n值，他的结果是：n =3.14159265358979325有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算n近似值，用6X216正边形，推 算出精确到9位小数的n值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米 德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问 题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数 翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条

15、边的正多边形，约 4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果， 在德国圆周率n被称为“鲁道夫数”。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下 去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家 们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 n的计算历史也随之进入了一个新的阶段。分析法时期这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 n 。2 J2 +J2 + 扭1593年，韦达给出珂222这一不寻常

16、的公式是n的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们 赞叹不已。它表明仅仅借助数字2,通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出n值。接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：跖 2-2-4-4-6-6-8-B1-3-3-4-5-5-7-71706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名:1239再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位。这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。显然, 级数方法宣告了古典方法的过时。此后，对于圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着 一个：1844年，达塞利用公式:跖111=arcs + arct + arcis -4258算到200位。19世纪以后，类