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1、山东省泰安宁阳实验中学九年级数学2.2根与系数的关系北师大版若一元二次方程bc0（a0）有两个实数根则有；。所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果bc0（a0）的两根分别是,，那么+， 。这一关系也被称为韦达定理。特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pq0，若,是其两根，由韦达定理可知，+p，q，即p(+)，q，所以，方程pq0可化为(+)0，由于,是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程(+)0。因此有以两个数,为根的一元二次方程（二次项系数为1）是(+)0。例1、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。分析：由于已知了方程的一个根，可以直
2、接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。解法一：2是方程的一个根，522k260，k7。所以，方程就为5x27x60，解得2，。所以，方程的另一个根为，k的值为7。解法二：设方程的另一个根为，则 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一个根为，k的值为7。例2、 已知关于的方程2(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的
3、积大21得到关于m的方程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。解：设,是方程的两根，由韦达定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得m1，或m17。当m1时，方程为650，0，满足题意；当m17时，方程为302930，302412930，不合题意，舍去。综上，m17。说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，
4、如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。例3、已知两个数的和为4，积为12，求这两个数。分析：我们可以设出这两个数分别为，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。解法一：设这两个数分别是，则 解得： ，因此，这两个数是2和6。解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根。解这个方程，得2，6。所以，这两个数是2和6。说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。例4、 若和分别是一元二次方程25x30的两根。（1）求|的值； （2）求的
5、值； （3）。解：和分别是一元二次方程2530的两根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(+2)( )(+) (+) 23()()23()。说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程bc0（a0），则，|-|。于是有下面的结论：若和分别是一元二次方程bc0（a0），则|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。例5 若关于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。解
6、：设,是方程的两根，则a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范围是a4。练 习1.选择题：（1）方程的根的情况是（ ）（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m02填空:（1）若方程310的两根分别是x1和x2，则 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 。（3）以3和1为根的一元二次方程是 。3.若，当k取何值时，方程kab0有两个不相等实数根？4已知方程310的两根为和，求(
7、3)( 3)的值。习题2.1 A组1选择题:（1）已知关于的方程k20的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程370的两根之和为0，两根之积为；方程32x0的两根之和为2，两根之积为0。（3）关于x的一元二次方程a5xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的两根之和为2，则k 。（2）方程2x2x40的两根为，则22
8、 。（3）已知关于x的方程ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 。（4）方程22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 。3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数。B 组1选择题:若关于x的方程(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的两实数根，则m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的两个实数根，则代数式a3a2bab2b3的值是 。3已知关于x的方程kx20。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围。4关于x的方程4xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值。
