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1、第一讲 数与代数一、 数的认识（一）整数1、整数分2类：自然数（非负整数）：0、1、2、3、4负整数：-3，-2，-1。2、整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。自然数是整数的一部分，自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。“1”是自然数最基本的单位。3、每相邻的两个计算单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。从右边起，每四个数位一级，数级分别是个级、万级、亿级。第一位是个位，第五位是万位，第九位是亿位;（10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万，10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿
2、）（二）小数：分母是10、100、1000的分数可以用小数表示。小数点的左边是整数部分，小数点的右边是小数部分。（小数的个数比整数的个数多得多。）1、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一.2、小数部分第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位(10个千分之一是百分之一，10个百分之一是十分之一，10个十分之一是一)3、小数按小数部分的位数是否有限分为有限小数和无限小数。无限小数分为无限不循环小数和无限循环小数。4、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个小数的循环节
3、。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点。（三）分数：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。一个整体可以用自然数“1”来表示，通常把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一1、分数分为真分数（1,分子小于分母）和假分数（1，分子大于或等于分母）。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。如2（整数部分和真分数）。2、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。3、把一个分数化成和它相等，但分子和分母
4、都比较小的分数，叫做约分（分子和分母除以公因数）如： 4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分（把分母都化成最小公倍数）（四）百分数：一个数是另一个数的百分之几叫做百分数，也叫做百分比或百分率。注意：分数既可表示一个数，也可以表示两个数比的关系，分数可以带单位；百分数只表示一个数是另一个数的百分比（一种关系），所以不能表示具体数。百分数不带单位，口算的结果不能是百分数,只能是最简分数、整数或小数。二、 数的读写、改写和比较（一）数的读写1、整数部分读法（1）分级（2）先读亿级，再读万级，最后读个级。（3）亿级和万级的数按照个极的方法读。读完亿级加个“亿”，读完万级加个“万”
5、。（4）每级末尾不管有几个0都不读，每级中间不管有几个0都只读一个“零”。2、整数部分写法（1）分级，圈“万”和“亿”（2）先写亿级，再写万级，最后写个级。（3）哪个数位上一个都没有用“0”占位。3、小数部分：依次去读写。（二）数的改写1、把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数（准确数，用“=”）（1）以“万”作单位。在万位后面点上小数点，把小数末尾的0去掉，添上“万”字。如45000（2）以“亿”作单位。在亿位后面点上小数点，把小数末尾的0去掉，添上“亿”字。如45000 00002、求近似数（用约等号“”）保留（或精确）到哪一位，就看到它的下一位。其余的数字无关。方法：“四舍五入法”。是
6、“舍”还是“入”要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5。0、1、2、3、4、（舍去）;5、6、7、8、9、（在前一位入1）。3、小数、分数、百分数互化（1）小数化分数：写成分母是10、100、1000的分数约分成为最简分数。如0.48=（2）分数化小数：一般情况:分子分母（如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。）如：=4特殊方法：分母通分为10、100、1000的数（如25=10 205=100 245=100 502=100 1258=1000 2005=1000 ）再化小数。如：=（3
7、）小数化百分数：小数点右移两位，添百分号。如：0.374=37.4%（4）百分数化小数：小数点左移两位，去百分号。（5）分数化百分数：把分数先变成小数（除不尽就要保留3位小数，算到小数第四位。），再化百分数。如=0.8=80% （6）百分数化分数：把百分数写成分母是100的分数，再约成最简分数。如： 37%=4、数的大小比较（1）整数和小数比较先比较整数部分的数位，数位多的，数就大。如果数位相同，先比较最高位，最高位相同再看下一位（2）分数比较分母相同，分子大分数大分子相同，分母小，分数大。根据需要把分数进行通分和约分，再比较。三、倍数和因数（倍数和因数是相互间的关系，所以2是12的因数，12
8、是2的倍数，不能说成2是因数，12是倍数）1、一个数最小的因数是1，最大的因数是本身。因数的个数是有限的;一个数最小的倍数是本身，没有最大的倍数。倍数的个数是无限的。2、2、5、3的倍数特征（1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。（3）一个数个位上的数的和是3的倍数，这个数是3的倍数。3、按因数个数分，非0自然数分为质数、合数和1三类。只有1和本身两个因数（20以内有2、3、5、7、11、13、17、19共8个）叫做质数；除了1和本身还有别的因数叫做合数；1既不是质数也不是
9、合数。最小的质数是2，最小的合数是4。4、公因数只有1的两个数，叫做互质数。相邻的两个数一定是互质数（如：9、10）;两个都是质数的一定是互质数（如：5、13）5、求最大公因数和最小公倍数都可以用不完全列举法，最好的方法是短除法。（每次都用最小的质数去除） (1)36分解质因数：36=22233(2)48分解质因数：48=22234（3）36和48的最大公因数：223=12（4）36和48的最小公倍数：22334=144互质数（相邻的或两个都是质数）：最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。 倍数关系：最大公因数是小数。最小公倍数是大数。四、性质与规律1、除法、分数和比的关系（除数、分母和后项都
10、不能为0）（1）商不变性质：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）相同的数（0除外），分数的大小不变。（3）小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不 变。 注意：（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘（或除以）相同的数（0除外），比值不变。2、比例的基本基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。3、积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。4、小数点的移动引起小数的大小变化。（1）小数点向右移，小数扩大。小数点右移一位，小数就扩大到原数的10倍。小数点右移两位
11、，小数就扩大到原数的100倍。小数点右移三位，小数就扩大到原数的1000倍。（2）小数点向左移，小数缩小。小数点左移一位，小数就缩小到原数的。小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的。小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的。5、乘法：（1）一个数乘大于1的数，积比原来的数大。（2）一个数乘小于1的数，积比原来的数小。（3）一个数乘等于1的数，积等于原来的数。除法：（1）一个数除以大于1的数，商比被除数小。（2）一个数除以小于1的数，商比被除数大。（3）一个数除以等于1的数，商等于被除数。五、 四则运算的意义和计算方法1、四则运算：加法、减法、乘法和除法2、计算方法（1）整数和小数的加减法：相同数
12、位对齐，从低位算起，满十进一（或退一当十）, 小数部分的数位不够，要补0再算.（2）整数与小数的乘法：2个因数的末位对齐（因数末位是0的除外，利用积的变化规律，在最后计算结果添0），用第二个因数每位上的数分别乘第一个因数，所得的积的末位对齐那位上的数，再把它们相加。最后根据需要添“0”或小数点的移动。（3）整数与小数的除法；根据小数点移动的规律，把除数和被除数同时扩大，使到除数变成整数。然后根据除数是整数的方法做。注意商的最高位在哪里每次余下的数必须比除数小哪一位不够商1，用0占位商的小数点和被除数的小数点对齐被除数和除数同时扩大后，商不变，余数要缩小。（4）分数加减法：分数通分为相同分母，分
13、母不变，分子相加减，再化简为最简分数。（5）分数乘除法：除以一个非0的数也就是乘它的倒数。分数乘除法都可以写成分数乘法，然后先约分，再分子乘分子，分母乘分母。 乘积是1的两个数互为倒数。分子和分母交换位置。整数的倒数分母是整数，分子是1。0没有倒数。1的倒数就是1。3、四则运算中各部分间的关系（利用关系进行验算）：加法：加数+加数=和 和-加数=加数减法：被减数-减数=差 被减数-差=减数 减数+差=被减数乘法：因数因数=积 积因数=因数除法：被除数除数=商 被除数商=除数 商除数=被除数 被除数除数=商余数 （被除数-余数）商=除数 商除数+余数=被除数4、估算（把数看做整十整百整千的数，便
14、于口算。用约等号“”）如：38+4380 _1991800 38431600 448089505、四则混和运算（1）运算符号：+、- 、 （） 次序：第一级 第二级 （2）在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算；（同级运算）（3）有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（两级计算）（4）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（5）没参加计算的要照抄，有些算式可以同时脱式计算。6、0与1在四则运算中特性:a+0=a a-0=a a-a=0 a0=0 a1=a a1=a 0a=0 1a=7、简便算法。1）交换律 加法交换律 a+b=b+a 2）结合律 加法结合律(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)3）乘法分配律 (a+b)c=ac+bc 4）性质 减法性质： a-b-c=a-(b+c) (a-b)c=ac-bc 除法性质：abc=a(bc)5）带符号搬家（只在同级运算中使用） 6）添（去）括号的使用（只在同级运算中使用）：括号前面是+和，括号里面不变号；括号前面是-和，括号里面要变相反的符号。（+和-互变，和互变）六、 解决问题1、基本的11种数量关系（1）“一共、还剩、原来” 部分数+部分数=总数
