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1、矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方 程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着 不可或缺的重要角色。本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用， 包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并 对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。关键词：分块矩阵；广义逆；MoorePenroce逆；Cramer法则.The generalized inverse matrix and its applicationAbstract:
2、The generalized inverse of matrix, i.e. the inverse of Moore-Penrose, plays an indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surve
3、ying, etc.The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, and its primary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides, b
4、rief explanations are given to some theories with illustrations.Key words: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penrose; Cramer rule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里， 矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程 给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发 展的时期。半个世纪以来，在众多理论与应用科学领域都
5、扮演着不可或缺的重要角色。陈永林，张云孝，杨明，刘先忠，徐美进等在文献1,2, 12 , 14中给出了矩阵广 义逆的定义，还对部分定义进行了举例证明。罗自炎，修乃华，杨明等又在文献8,14 中给出了矩阵广义逆的各种定理；而陈明刚，燕列雅，李桃生，姜兴武，王秀玉，吴世， 杜红霞，刘桂香等又分别在文献4,6,9,13，16中对矩阵广义逆进行了推广， 介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。张静，徐美进，徐长青，杜先能，蔡 秀珊，崔雪芳等又在文献3,12,15，17,18中给出了矩阵广义逆的计算方法， 并加以举例说明。同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。潘芳芳，梁少辉，赵 彬等又在文献
6、5,11中介绍了 Quantale矩阵的广义逆及其正定性。鲁立刚，何永济， 王自风，赵梁红等则在文献7,10介绍了 Fuzzy矩阵广义逆的性质和应用。本文在上述工作的基础上，总结了广义逆的定义以及广义逆的性质，给出矩阵广义 逆在数学中的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则 和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，对一些重要的结论给出典型例题加以 说明。2.矩阵广义逆的定义及其推导2.1定义定义1.对于任意复数矩阵A，如果存在Y，满足MoorePenroce方程AYA = A, YAY = Y,（AY ） = YA,（ YA）Y = A则称Y为A的一个Moor
7、ePenroce广义逆，或简称加号逆，记作Y = A+。如果某个Y只 满足其中某几条，则称它为A的某几条广义逆。如若有某个Y满足（1）式，则称Y为A 的1广义逆，或简称减号逆，记作Y = A-。如果Y满足（1）和（2）式，则称Y为A的 1,2广义逆，记作 Y = A（i,2）g A 1,2。例1.设A =a 1一、， 一1当a。1时，A可逆，且A-1= -1 -1 1a -1-1 a;当a=1时，A不可逆,一一一 1且不难验证A+=14注意到lim A-1。A+，这说明A+的元素并非是关于A的元素的连续函数。一般地，把 a 1A的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。例2.设矩阵A
8、=（a）为1 x 1矩阵。若a = 0，定义2.设A为m彳丁 n列矩阵，若其中A1 ,、定义 A+ = 0 ；当 a。0 时，a + = （ a。0）。a，B的级数相同，则A + B =（A + B ）。jij ij rxsAA AAA A1 11 21n1 12 1n1AA AAA AA* =21222 n=1222n 2AAAAAAn1n 2nn1n2 nnn(1-1)其中A,(1 i m,1 j n)为m行n列式|A|中元素的代数余子式，则称A*为的A广义 伴随矩阵。定义2.设A为m行n列矩阵，若仇仔0,则称A为一广义非奇异矩阵；若|A = 0， 则称A为一广义奇异矩阵。2.2方程的理论
9、推导命题 1. A1,3=B B*为XA*A=A的解。证明：设B g A1,3，则A=ABA=(AB)* a=b* a*a因此B*满足矩阵方阵XA*A=A ；反之，设B*为矩阵方程XA*A=A的一个解，那么A=B* A*AA* =A* AB于是ABA=B * A* AB=B * A* A=A ;(AB)* =( B* A* AB)* =B* A* AB=AB所以 B g A 1,3，从而 A 1，3 = ( B B* 为 X A* = A 的解。证毕。类似地，可得命题 2. A1,4=CjC*为AA*X=A的解。由命题1和命题2立即可得命题 3. A*1,3=(A1,4)*A*1,4=(A1,
10、3)*。命题4.如果B , C分别为矩阵方程A*AX=A*,AA*Y=A的一个解，那么，A+ =A*CB=C * AB=C* B * A*证明：根据命题1和命题2可得A(A*CB)A=ABA=B*A*AB=B*A*A=A ;(&CB)A0*CB)=C&BAB=C*AACBBA=C*ABBA=C*AB=C*AA*CB=A*CB ;(A(A*CB)* =(AB)* =(B*A*AB)* =B*A*AB=AB=A(A*CB);(A*CB)A)* =(C* AA*CBA)* =(C* ABA)* =(C* A)* =(C* AA*C )* =C* AA*C=C* A=C* ABA=C* AA*CBA=
11、(A*C)A 由A的唯一性可知，A+ =A*C，又C* AB=C* AA*CB=A*CB;C* B* A* =C*B* A* AB=C*BA所以，A+=A*CB=C*AB=C*B*A* 证毕。3. 矩阵广义逆的定理定理1. A的广义逆A *具有下列性质：(1)(A*)*=A ；(2) (A*) + =( A+ )* ；(3) ( AA*) + = (A*)+ A+,(A* AA*)+ = (A*)+ A+ (A*) + ；(4) rankA=rankA+ = rankAA+ =rankA+A ；(5) rankA=m rank(/ AA+) = n ran( I A+A)；(6) R(AA+)
12、R = (A*), N(AA+) = N(A)；(7) R(A+ )=R(AA+)R = (A*), N(A+) = N(AA+) = N(A*)；(8) Pr( A) = AA+ = A(A* A)+A*; P= I AA +, P= A+A = A* (AA* )+A, p( A)= I A+Ar i 例3.设矩阵A = h,1,B =，不难检验，A+= 2 ,B+ = -&，号，因此有0J-_L U _L U _ 2 _B+A+ = ,而 AB=2 , (AB) + = 2,故(AB) + = 2 (AB) + 丰 B+A+。例4.设矩阵A满足rank(A)=(n m), B为n xm矩
13、阵，且lank B)=n ，则直接验证可 得(AB)+ = B* (BB* )-i( A* A)-1 A*因为A+ = (A*A)t A*, B + = B* (BB* )-1从而有(AB) + = B+A+证毕。定理 2.设 A G Cmxn , X G Cnxm l ,贝。 r(1) XA1,2 o X g A1且rankX = rankA o X g A2且rankX = rankA(2) X g A1,2 o X = YAZ,其中Y,Z g A1证明：(1)先证第一个等价性，必要性是显然的。下证充分性。若X g A1且rankX=rankA，则XAXA = XA，且rankXA=ran
14、kA=rankX所以，将等式XAXA=XA右消A，可得AX=X，故X g A1,2。注意到X g A2等价于A g X1，用第一个等价性，可得A G X1,2 o A G X1且rankA=rankX此即第2个等价性。(2) 若X g A1,2,则 X=XXA,X g A1反之，若X=YAZ,Y、Z g A1，则可直接验明 AXA=A且 XAX=X定理3 .下列命题是等价的： (1)G g A1,4 ,(2) GAA* =A* ,(3) GA=A+A=P；R (A*) (1) G G A1,3,(2) AA*G=A* ,(3) AG=AA+ =P；R (A) (1) G G A1,3,4，(2) AG=A*,GAA* =A*,(3) GA=AA+ ,GA=A+A.定理4.如果mxn矩阵A=(a)的行(列)式|A|。0，那么*A*是A的广义逆。证明：设G =二A*，因为AAA* = AI , A* A = |A|/所有AGA = A ,故G是A的广义逆。证毕。下面给出求矩阵广义逆的初等变换法：本文只对m n时，利用列式相应的性质可得相应的结论，用表示矩阵A的位于1, 2,，m行；j，j2，j列的元素构成的A的m阶子式定理 5.设 mx n矩阵(m n), A = (a )(1 2 .j1j2的行列式不为零，
