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1、数学分析(中)期末复习(切记：配合章节要点一起复习，特别是例题)一、 第七章 定积分：1、N.L.公式、换元法、与分部积分法.2、若连续,可导, 则完整的变上下限求导公式应为=.直接用这些公式 都是错误的.3、 4、是偶函数,是奇函数,所以 从而再可用如上3.6、记住两个Guldin定理. Guldin第一定理:若平面闭区域不跨越直线, 其面积为, 重心到的距离为, 则绕直线的旋转体体积V=. Guldin第二定理：若平面曲线不跨越直线, 其弧长为, 重心到的距离为, 则绕直线的旋转曲面面积=.7、会做理论证明题: 上册p313: 21-24, 26.二、 第八章 反常积分：1、记住一些基本结
2、果:(1)、,当时收敛,而当时发散.,当时收敛,而当时发散. 从而对于一切都是发散的.(2)、: 当时都绝对收敛的; 当时都条件收敛的; 当时都发散.2、收敛性判别:首要的问题是判别类型:是无界区域上的反常积分,还是无界函数的反常积分; 即判别奇点的类型.是同号函数(可等同于非负函数)的反常积分还是任意函数的反常积分.基本习题： p380: 3(1)(3)(4)(2)、讨论任意函数的反常积分的敛散性,必须要到绝对收敛、条件收敛或发散为止. 除非是绝对收敛,常常要反常积分的A.D.判别法.教材的习题下册p380: 5 (1)-(3) ; 7(3)-(6).3、证明题习题: p381: 10,13
3、, 14.三、 第十一章 多元函数的极限与连续 1、 一些有关二重极限与二次极限概念的例子(1)、二重极限不存在的例子:例1、 在点处;例2、 在点处.(2)、沿任何直线方向的极限存在相等但二重极限不存在的例子:例1、在(0,0). 例2、 下册教材上P122例11.2.4.(3)、二重极限存在，但两个二次极限不存在的例子:例1、 在(0,0).例2、 在(0,0). (证明仿(1)，也可见讲稿)(4)、二重极限存在, 但两个二次极限恰有一个不存在的例子:例1、在(0,0)点.例2、在(0,0)点.(5)、 两个二次极限存在且相等,但二重极限不存在的例子.例1、在(0,0)点.2、二重极限与二
4、次极限相等的结果定理：设(存在且有限)(1) 若存在, 则必存在且等于.(2) 若存在, 则必存在且等于.(3) 若(1)与(2)的条件都成立, 则两个二次极限均存在且都等于.要会证明.3、基本习题：下册p129:4(1)(3); 7(1)-(3),(6)-(8).四、 第十二章 多元函数微分学1、 有关连续、可偏导与可微的概念(1)、一些例子(a)、可偏导但不连续的例子：例1、在点处.例2、在点.(b)、连续但不可偏导的例子：例1、在点处.(c)、可偏导未必可微的例子例1、在点.(因为在点不连续，所以不可微).例2、在点. (因为在点不连续，所以不可微).(d)、连续且可偏导不能导出可微的例
5、子例1、在点.例2、在点.(2)、 若偏导数都连续,则必可微.判断一个函数在处可微的原则与主要步骤如下:(i) 若函数在处不连续或不可偏导(即至少有一个偏导数不存在),则函数在处必不可微.(ii) 若函数在处连续且可偏导,则考察如下的2、关于方向导数(1)、对于,在任何一个定点处有偏导数连续可微方向导数处处存在,且有其中是与轴正向的夹角.当与同向时,方向导数达到最大其值为,反向时达导最小为, 而垂直时为0.(2) 对于分段函数的分段点,一定要用定义来求方向导数.3、混合偏导数混合偏导数存在,未必相等;但若都连续,则必相等.4、复合函数求导(1)、复合函数的求导步骤与要点:写出变量关系图；用复合
6、函数求导法计算.注1、 若函数的复合多于两重, 则除了对于最终自变量的中间变量要求可偏导外, 其余的均要求可微：如可偏导, 则可用复合函数求导法则.注2、 如不加说明, 则在求导时, 总认为混合偏导数可交换次序.注3、 切记: 对,一阶偏导数,二阶偏导数等永远是的函数, 即(4)、必须掌握的习题：p163: 1 (2)(4)(5)(8)(9).5、隐函数求导(1) 按题意确定函数与自变量，再按隐函数求导法计算。(2) 典型习题下册：p187: 1(7)(8), 5(2)-(4).6、偏导数在几何中的应用(1)、空间光滑曲线的切线与法平面(i) 参数方程：, 切向量为(ii) 直角坐标:, 切向
7、量为(iii) 两个光滑曲面的交线: 在点处,切向量为=(2)、空间光滑曲面的切平面与法线:(i) 隐式方程: 在处。法向量为(ii) 直角坐标: 在点,法向量.(iii) 参数方程: ，在参数对应点处 法向量 . (3) 典型习题：p201:1(3),4(3), 5, p202:12.6、无条件极值(1)、概念(i) 一个函数的极值点不一定是最值点; 最值点也可以不是极值点(例如当最值点不是函数定义域的内点时); 但若一个点是函数的最值点且为函数定义域的内点时, 则必为极值点.(ii) 设定义在上, 是的内点, 则是的极值点的必要条件是:或者在处不可偏导; 或者在处可偏导且的定义域内部这两种
8、点均称为的极值可疑点. 因此,要寻求的极值点,只须从的极值可疑点中去寻求即可.驻点可能不是极值点,如 则是驻点,但不是极值点;不可导点也可能是极值点, 如在点. 又如,(0,0,0)是驻点，但非极值点. 如, 是不可导点,但不是极值点. (2)、处理无条件极值问题的基本步骤 对于函数 第一步:先求出的极值可疑点: 不可偏导点,驻点,必须是的内点. 第二步:a) 若极值可疑点是驻点, 则由定理1,2, 不等式或其他方法判别.b) 若极值可疑点是不可偏导点, 则可考虑用不等式或定义来判别.基本习题下册： p216: 1(2)(5)(6), 2.7、条件极值(1) 条件极值问题解题步骤:第一步: 构
9、造Lagrange函数并由必要条件写出对应方程组:第二步: 求出如上方程组的解全体, 即的驻点全体.第三步: 用如上列出的方法(1)(2)(3)加以判断.(2) 典型习题下册p229: 1(1)(2), 9,10与复习提要中的例题.五、 第十三章 重积分1、比较定理，积分中值定理，对称性与重心公式(1) 比较定理的补充性质：若，但不恒等于则基本习题：下册p251: 2, 3.2、对称性与重心公式：(A) 二重积分的对称性与重心公式：(i) 对称性a) 设关于轴（即）对称，即则b) 设关于轴（即）对称，即则c) 设关于原点对称，即则d) 轮换对称性，若关于的轮换不变，则 如, 则, 则若互换与形
10、式不变, 如(ii) 重心公式：若的重心为，则注: 只有的重心已知，且才可用重心公式.(B) 三重积分的对称性与重心公式：(i) 对称性a)设关于平面()对称,即则b) 设关于原点对称,即则c) 轮换对称性: 若关于轮换形式不变，则若轮换形式不变，则(ii) 重心公式: 若的重心为, 则例1、例2、由此例3、例4、例5、例6、例7、设 则关于轴对称，故但由比较定理的补充结果有例8、设则 但3、化重积分为累次积分(1) 型区域的形式为:,先对再对的二次积分为:(2) 型区域的形式为:,先对再对的二次积分为:(3) 空间中型(或者型)的形式为:, 其中是在平面上的投影.从而可得积分如下:注: 注意型与型区域的形式.型区域的型式为:夹于平面，对任意的，平面在截下的平面取域为：，则可得积分如下：4、重积分的计算(1) 对于二重积分：有直角坐标、极坐标、广义极坐标方法与变量代换方法.(2) 对于三重积分：有直角坐标、柱坐标、广义柱坐标、球坐标、广义球坐标方法与变量代换方法.基本习题有p251:4(1)(2); 5(1)(2)(4)(6); 6(4)(8); 16,18.P271: 1(1)(3); 2(1)(2); 4(2)(4); 5(1)(2)(3)(4)(8).
