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1、第一章引论1假设原始数据是精确的. 试按三位舍入运算计算 （164+0. 913）-（143+21）和（164 -143）+（0. 913 - 21）的近似值，并确定它们各有几位有效数字. 2证明：的相对误差约等于的相对误差的1/2. 3设实数的位进制浮点机器数表示为. 试证明 ，其中的记号*表示+、-、/ 中一种运算. 4改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） （2） （3） . 5求方程 的两个根，使它至少具有四位有效数字. 6设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差. 7. 设为矩阵,为维向量,而且证明: 其中的元素满足: 8真空中自由落体距离与时间
2、的关系由下面公式确定： ，g是重力加速度. 现设g是准确的，而的测量有秒的误差. 证明当增加时距离的绝对误差增加，而相对误差却减少!9序列满足递推关系：. 取及，试分别计算，从而说明该递推公式对于计算是不稳定的. 第二章 多项式插值 1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/22. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数. （1）证明 （2）证明.3. 在节点处取值的次数的多项式可写成其中是某个常数.确定并证明此公式.4. 设.考虑以为节点的Lagrange插值公式当时的极限.证明成立公
3、式，其中 ，并计算.5. 给出的数值表试利用这个表求在与之间的根.6. 给出的数值表试利用Neville法求的近似值.7.若 ，问; .8.设 ，证明.而且 .9.证明下列关系的正确性: (1) (2) (3) 10. 利用差分性质证明:.提示:考虑差分,并利用差分和函数值可互相表示11. 分别利用Newton向前与向后插值公式及数据计算与的近似值.12.给出自然对数和它的导数的数表如下:(1) 利用Lagrange插值公式求.(2) 利用Hermite插值公式求.13.求次数的多项式，满足 .14.寻找一次多项式满足插值条件： .15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点
4、，且.16.设，求在区间上的分段三次Hermite插值函数，并估计误差，取等距节点且.17. 设并且又知求证 18.对任意非负整数，证明：.19.设，如下样条函数 当在和上变为一次多项式时，称为三次自然样条.证明：当且仅当系数满足下列关系时，才是三次自然样条.20.已知插值条件为12324121-1求相应的三次插值样条函数.21.求证 .22.证明等距样条可定义为.23.证明B样条的正性: 当.第三章 最佳逼近及其实现 (习 题)1. 证明：若为狭义线性赋范空间，为的有限维子空间，则对，在中存在惟一的元素的最佳逼近元素.2. 设，定义，问是否为内积？令空间,若将限制在子空间中，上述是否构成内积
5、. 3. 设，相应的次Bernstein多项式定义为，其中.证明：，对，和成立. . 4. 设.若设在上的一次最佳一致逼近多项式为.（1） 求证： .（2） 利用（1）的结论，求，在上的一次最佳一致逼近多项式，估计误差.5. 选取常数，使达到极小，又问该解是否惟一.6. 证明：的次最佳一致逼近多项式也是它的插值多项式. 7. 设 ，求的零次最佳一致逼近多项式 8. 求多项式，在-1，1上的二次最佳一致逼近多项式. 9. 设，是的次最佳一致逼近多项式，证明：当 是偶（奇）函数时，亦是偶（奇）函数. 10. 利用Remes算法，计算函数，在区间0，1上的二次最佳一致逼近多项式(要求精度为0.000
6、5).11. 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多项式.12. 证明法方程组的系数矩阵G是正定矩阵13.设是上带权的次正交多项式，为任意次代数多项式，证明：. 14. 设为带权正交多项式系，证明：对，多项式和的零点必交错.15. 试利用Gram-schmidt正交化方法，求0，1上带权的三次正交多项式系，并利用它，求带权的最佳三次平方逼近多项式.16. 证明第三章定理 11. 17. 证明 ， 18. 求函数在上关于权函数的三次最佳平方逼近多项式.19. 设，若取，作节点，证明Lagrange插值余项有估计式：. 20. 用最小二乘法，求拟合下列数据的一次和二次多项式.哪个多项式逼近的更好.0 2
7、1 证明：（1）阶线性代数方程组（7.3）的系数矩阵是对称正定阵； （2）当 时，向量的离散情况的最佳平方逼近向量就是本 身，即（7.4）成立.22.对给定数据表，确定数据拟合曲线，并利用它，修正表的数据. 23 求值，使达到极小，并求极小值.24. 利用离散情况的最佳平方逼近，求解如下超定方程组： 第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)1直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 2设在0，1上连续，在0，1上可积，证明：用复化梯形公式计算 的误差形式为 ,当.其中是复化梯形和，为积分区间的分划节点. 3对于的数值积分公式
8、，其中为对在进行插值的2次多项式.证明：. 4证明 中矩形公式的Peano核误差公式为： ,其中 并由此导出误差形式.5. 求系数，使求积公式对于次数的一切多项式都是精确成立的.6. 利用自适应辛甫生方法计算下列积分准确至. (1) （2） 7导出的两点Gauss求积公式，其中权函数为8记为求积分的点Gauss-Legendre公式.证明：对任何连续函数，当时，.提示：利用函数逼近的Weierstrass定理及Gauss型求积公式中求积系数的正性. 9考虑下列利用辛甫生公式求得的近似积分表，估计收敛于精确积分的阶.248163264即，若，则是什么？这些数据看起来像误差的正确形式吗？预告的值和
9、的误差. 若的误差小于，应选多大？10. 假设一个积分公式的误差有渐近展式推广4中的Richardson外推法. 若已知3个值，利用这些值去计算的估计值，使其具有阶为的误差.11. 用Romberg方法,对计算并对每一对打印误差.12. 确定参数使求积公式的代数精度尽可能地高 (*)13 假定求积公式 对于，精确成立，试求14. 建立Gauss型求积公式：. 15. 就和8个节点，用Gauss-Laguerre求积公式计算下列积分值：(1) ， (2) ,(3) 16. 求数值微分公式的余项. 第五章 线性代数方程组的解法 (习 题)1用Gauss逐步消去法解方程组 .2用列主元消去法解方程组
10、.3设为阶按行严格对角占优矩阵，经Gauss消去法一步后变为如下形式 试证是阶按行严格对角占优矩阵.4设为实对称非奇异矩阵，且各阶顺序主子式证明：可以分解为，其中为具有正对角元的下三角阵，为对角阵，其对角元.5用追赶法解如下三对角方程组 .6假定已知的三角分解:,试设计一个算法来计算的元素.7试证对维向量有.8设为阶实矩阵，试证 9设是向量范数，为实矩阵，是维向量，证明是的连续函数.10设为阶非奇异矩阵， 表示矩阵的任一种从属范数，试证 （1）， （2）.11. 设是由向量范数诱导的矩阵范数, 证明:若非奇异,则12设是的三角分解，其中.并设分别表示和的第行，验证 ,并证明 .13设非奇异，是
11、方阵的特征值，证明 .14设 .已知方程组的精确解为. （1）计算条件数； （2）取,分别计算它的残余向量.本题的结果说明了什么问题？15求矩阵的，以及，其中 .16若存在正定矩阵，使 为对称正定阵，试证迭代法 ， 收敛.17设有方程组，其中， .已知它有解.如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差.18设有迭代格式，其中 ， .试证该迭代格式收敛.并取，计算.19给定方程组 .证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.20设是二阶矩阵，且.证明：求解的Jacobi迭代方法和Guass-Seidel迭代方法同时收敛或同时发散.21设为正交矩阵，.求证线性方程组,用G-S方法求解必收敛.22设求解方程的简单迭代法 收敛.求证当时，迭代法收敛.23求证矩阵 当时正定，当时Jacobi迭代法解收敛.24设计算Jacobi，G-S迭代矩阵的谱半径.25设有方程组，其中为对称正定阵，试证当松弛因子满足（为的最大特征值）时下述迭代法收敛： .
