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1、第八章1. 解：(1 )假设检验的基本思想是，样本平均数与总体平均数出现差异不外乎两种可能：一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。根据样本平均数的抽样分布定理，有口 x Z乐或|x M饭Z。当Z 0时，表明样本均值等于总体均值，即x 当Z很大时，表明样本均值离总体均值很远，即很大。后一种情况是
2、小概率事件。在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理 由认为样本均值是不正常的，它与原总体相比，性质已经发生变化，应该拒绝接受原假设。(2)假设检验的一般步骤包括： 提出原假设和备择假设；对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为 Ho；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为Hi。原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。接受Ho,则必须拒绝Hi;反之，拒绝Ho则必须接受Hi。 选择适当的统计量，并确定其分布形式；不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量。在
3、例中，我们所用的统计量是Z,在Ho 为真时，Z N (0, 1)。 选择显著性水平 a,确定临界值；显著性水平表示 Ho为真时拒绝Ho的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用a表示。假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。这里的小概率就是指a。但是要小到什么程度才算小概率？对此并没有统一的标准。通常取=o.1, o.o5, o.oi。给定了显著性水平 a,就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定 Ho的接受区域和拒绝区域。临界值就是接受区域和拒绝区域的分界点。 作出结论。根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，作出接受或拒绝原假设Ho的结论。如果检验统计量的值落在拒绝区域内
4、，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假 设；反之，则接受原假设。2. 解：(1)抽样估计和假设检验都是统计推断的重要内容。如果总体分布形式已知，只是总体参数未知，则统计推断问题就归结为推断总体参数的问题。抽样估计或称参数估计是根据样本资料估计总体参数的真值，而假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。区间估计通常求得的是 以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也常常采用单侧检验，视检验的具 体问题而定。区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度(可信度)1-a去估计总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平a去检验
5、对总体参数的先验假设是否成立。区间估计和假设检验虽各有其特点，但也有着紧密的联系。 两者都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信程度或风 险；对同一实际问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布。因而，两者可以相互转 换，即区间估计问题可以转换成假设检验问题，假设检验问题也可以转换成区间估计问题。这种相互转 换形成了区间估计与假设检验的对偶性。(2)根据置信区间进行假设检验的方法如下:/ . n，由于统计量以总体均值的区间估计和假设检验为例，当总体方差2已知时，Z x 呦 / 氐 x 闻/(八 n) N (0,
6、 1)给定置信度1- a时，有P(Z Z a2)1 a反之P(Z Z 2)当总体均值可知时，可估计的置信度为1- a的置信区间为Z 2(-X)/ x Z 2上式等价于Z检验的接受区域:若事先假设：，可求出统计量Z的具体值。当|Z Z/2时，不属于小概率事件，应接受原假设；反之，当Z Z 2时，小概率事件发生了，按假设检验的规则，应拒绝原假设。可见，区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域，置信区间之外的区域就是拒绝区域。对比率、方差等问题的 区间估计和假设检验也同样存在这种对偶性。3. 解：根据题意，提出假设：Ho:1000, H1:1000检验统计量 Z |X 0 / X|X0 /(
7、/7n) 958-1000 *100/725) 2.1由a=0.02,查正态分布分位表（附录2表4）得临界值Z a 2.054由于Z = 2.1 Z = 2.054，所以应拒绝Ho而接受Hi，即这批元件的使用寿命不低于1000小时，是合格品。4. 解：根据题意，提出假设：Ho:500，H仁500检验统计量 |Z |x0 / x |x 0 /（ /你）495- 500 /（20/寸硕）2.5由a =0.05查表得临界值 Z a 1.645由于Z=2.5 Za /2 =1.645，所以应拒绝 H。而接受Hi,即工艺改革后这批产品的使用寿命确有显著 提高。5. 解：第一类错误：当原假设 H0为真，但
8、由于样本的随机性使样本统计量落入了拒绝区域，这时所作的判断是拒绝原假设。这类错误称为第一类错误，亦称拒真错误，它实质上就是前面提到的显著性水平a即P拒绝H。| H0为真= a。第二类错误：当原假设H0为不真，但由于样本的随机性使样本统计量落入 接受区域，这时的判断是接受原假设。这类错误称为第二类错误，亦称取伪错误。犯第二类错误的概 率亦称取伪概率，用B表示，即P接受H。| H0不真= 3在一般场合，当n固定时，减少a必然导致3增大；反之减少 3必然会增大 a以利用Z统计量进 行右侧检验的情况为例；a= P （ ZZa I H0为真）3= P （ ZWZal H0 为真）3小，则必然导致 a增大
9、。6.解：正态分布是与自由度无关的一条曲线,t分布是依自由度而变的一组曲线。t分布较正态分布顶部7.略低而尾部稍高。在小样本情况下二者的区别较大，t分布呈现尖峰后尾特征。t分布曲线就成为标准正态分布曲线。在总体方差未知的情况下，检验均值特征使用解：根据题意，提出假设：H0：800 , H1：800当自由度趋于无穷大时,t分布。检验统计量ZX 0 /（/ . n）要使a小，则临界值 Za增大，而Z a增大必然导致3增大。反之，要使820 800 /（60/ 16）1.333由a=0.01，查表得临界值 Za=2.326由于Z=1.333Za=2.326，所以应拒绝 H。而接受H1。8. 解：假设
10、 H0： F0=0.4, H1： P0.4。样本比率 P =m/n=76/200=0.38由于样本容量大，所以可近似采用Z检验法，有P PoPo0.38 0.3P(1p) 0.38 0.62200n 200给定a=0.05，查正态分布分位表（附录2表5）得Z 1.645。由于Z Z，拒绝原假设，即认为报纸的订阅率显著降低了。9. 解：已知 025000，n 10，计算得 X 25200，S 332.666提出假设：H。：25000，Hi：25000检验统计量丨t|=（X0）/ X （x0）/（S/历）1.90(25200 25000)/(332.666/ 10)由a=0.05，查t分布表（附录
11、2表5）得临界值t ,2 （n 1）= t0.025（10 1）=2.262。由于丨t | =1.90v t 2（n 1） = 2.262，所以接受H。，即认为该厂轮胎的耐用里程不存在显著差异。10. 解：计算得S 0.00128假设 H0： o=0.03 , H1：工 0.03统计量 2 = （n 1）S2 / 2 =（6 1）0.00128/0.03=7.112 2a=0.1，查分布表（附录2表6）得0.05（5）=2.015，故应拒绝H0而接受H1，即认为总体口径方差存在显著差异。11. 解：（1）接受 （2）拒绝 （3）接受（4）拒绝 （5）接受（6）接受12. 解：（1 ）拒真错误（
12、2）没有错误（3）取伪错误（4）没有错误（5）没有错误13. 解：对于甲乙厂放映时间方差的检验，首先建立假设：2 2 2 2HO :12 , H1 :12在 n=5, m=7, a= 0.05 时，F.025（4, 6）=6.23 , F0.975 （4, 6）=0.161故拒绝域为F0.161或F6.23现由样本求得 =78.8, S2 =233.33，从而F=0.338，落入拒绝域，因而在a=0.05水平上可以认为两厂放映时间的方差存在显著差别。对于甲乙厂放映时间均值的检验，首先建立假设：H0:12 , H1:12计算可得：甲厂：n=5 , x =97.4 , S?=78.8 ;2乙 _
13、:m=7, y =100, Sy =233.33 ;沪0.0514.由于n与m都不大，且SX与S；又相差很大,故拟采用t统计量进行检验。经计算，对应 t分布的自由度为故不拒绝解：对于L=9.747，取整后为10。在a=0.05时,to.o5（1O） =1.8125，现由样本求得 t =-0.371too5（10）,H0,认为甲乙厂放映时间的均值没有显著差别。B蛋白质含量方差的检验，首先建立假设:在 n=10,Ho :m=5 , a= 0.05 时，F.025（9,4）=8.9, F0.975 （9,4） 1/F0.025 （4,9）0.212故拒绝域为F 8.9由已知S1.621 , S2=0.135，从而F=12.007,落入拒绝域，因而在a=0.05水平上可以认为A、B蛋白质含量的方差存在显著差别。对于A、B蛋白质含量均值的检验，首先建立假设:H。:12, H1:12经计算，对应t分布的自由度为L=11.528，取整后为12。在a=0.05时，垃。5（12） =1.782，现由样本求得t =5.979t.05（12），故拒绝H。，认为A、B蛋白质含量均值存在显著差别。
