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1、北方民族大学学士学位论文论文题目: 数学解题策略的进一步研究 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 杨 令 宗 专 业: 数学与应用数学 学 号: 20093261 指导教师姓名: 叶 志 萍 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处II摘 要数学解题策略就是为了实现解题的目的而确定的采取行动的方针、方式和方法.与其它事物一样,数学解题的策略有其内在的规律性,这个规律性表现在解题策略遵循着其策略原则,即熟悉化原则、简单化原则、具体化原则及和谐化原则.掌握好这些原则,将会有利于解题策略的制定.探索、悟透问题的背景实质，琢磨寻求问题与问题之间的联系和发展
2、，对指导解题有相当重要的意义，命题和解题中的观察、联想、类比、划归、变换、赋值、放缩、构造、一般化、特殊化、数形结合等策略，都体现了问题与问题之间的联系，命题着眼于扩大条件与结论之间的距离，力图掩盖条件与问题之间联系的痕迹，命题要从已有的知识结构、解题方法，演绎出新题，而解题则要把问题划归为已有知识、方法有联系的问题，既命题时从简单到复杂的演绎，而解题则是从复杂到简单的过度.结合实例的解题策略解读更易明白、清晰，符合熟悉化、简单化、具体化、和谐化原则的解题策略要求.关键词 数学解题策略，规律，原则,研究AbstractPrinciples, ways and means of mathemat
3、ical problem solving strategy is determined to take action in order to achieve problem-solving purposes.Like everything else, has its inherent regularity in mathematical problem solving strategies, the performance of this regularity in the problem-solving strategies to follow its policy principle, t
4、hat is familiar with the principle, the principle of simplification, the specific principles and the principle of harmonization.To master these principles, there will be conducive to the formulation of the problem-solving strategies.Discover, a thorough understanding of the background of the problem
5、 in real terms, pondering seek the link between the problems and issues and development, problem solving guidance of considerable importance,Proposition focus on expanding the distance between the conditions and conclusions, trying to cover up the traces of the link between the conditions and proble
6、ms.Proposition from existing knowledge structure, problem-solving approach to the interpretation of a new title, and problem-solving should be classified as existing knowledge, methods, problems linked to both propositions from simple to complex interpretation, and the solutionquestions from the com
7、plex to the simple transition.With examples of problem-solving strategies interpretation easier to understand, clear and consistent with requirements of familiar, simple, specific, Harmony principle of problem solving strategies.Keywords : Mathematical problem-solving strategies, Law, Principle，Rese
8、arch目 录第1章 前言1第2章 数学解题策略举例22.1 观察 归纳与猜想22.2 数学归纳法22.3 枚举与筛选32.4 逻辑类分法42.5 从整体上看问题52.6 划归62.7 退中求进72.8 类比与猜想82.9 反正法92.10 构造法92.11 极端原理102.12 局部调整法112.13 夹逼122.14 变量代换132.15 递推方法142.16 抽屉原理152.17 数形结合15第3章 数学解题策略的一般方法173.2 求解的问题173.3 求证的问题173.4 问题解决的一般程序17第4章 总结18致谢19参考文献20II数学解题策略的进一步研究第1章 前言数学是关于研究
9、客观世界的数量关系和空间形式的科学.当人们与客观世界产生密切接触.从数量关系和空间形式的角度反应出认知和客观世界的矛盾时.就形成了数学的问题.所以说，以数学为基本内容，或者虽不以数学为基本内容，但必须运用数学的原理、概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题.同时，数学作为各科科学的基础学科，推动着各门科学的向前发展与繁荣的重要地位，数学的发展程度在一定意义上也见证着各国生产力的发展状况，数学历史的发展一再印证“问题是数学的心脏”，只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或终结.正如人类的每项事业都追求明确的目标一样，数学的研究也需要自己的问题.波
10、利亚有一句著名的名言：“掌握数学就是意味着解题”.解题就是意味着问题的解，现代意义的问题的解除了注重结果，注重答案外，更注重解决的过程，策略及思维方法.“问题解决”已成为国际数学教育研究的焦点，人们对在数学教学中如何培养学生的解决问题的技能与能力进行不懈的研究，取得了一系列成果.随着研究的不断深入，人们逐渐认识到数学问题解决策略是该领域研究中的一个十分重要的课题，并且成为数学问题解决课题研究的热点，搞清解决数学问题的策略的有关问题对科学,高效地进行数学问题解决进而培养学生解决数学问题的能力具有重要的实践作用.一些学者将数学问题过程中思维结构分为三个层次阶段：运用一般逻辑方法；运用数学方法；运用
11、具体的解题方法与技巧.实质上就是解决问题过程中运用解决策略的层次阶段.方法具有层次性，数学问题解决策略是区别于数学解题方法与具体技巧的，具有普适性，最高层次的信息处理方法.面对一个问题，采取什么样的策略是主体接触和了解数学问题后首先进行的选择性的思维操作.策略是选择，组合，改变或者是操作与当前问题的解决有关的事实，概念原理的一系列规则，旨在缩小问题条件与结论之间的差别，填补其空隙.总之数学解题策略是解决者找到正确解决办法的有力武器. 第2章 数学解题策略举例2.1 观察 归纳与猜想“观察归纳与猜想”是一种重要的思维方法，对于确定证明方向发现新定理都有重大的意义.归纳常常从观察开始，正如著名数学
12、家G.波利亚所言：“先收集有关的材料，考察它们，加以比较，注意到一些规律性，最后把零零碎碎的细节归纳成有明显意义的整体”.观察改变一下形式这个形式很有规则，这是偶然的还是真有这样的规律？不妨再验证一下：，.再取多一些实验一下：.于是猜想.从这个例子可以看到，观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要根据问题的特点不断调整自己观察的角度，以利于观察出一定隐蔽性的内在规律. 2.2 数学归纳法2.2.1数学归纳法的基本形式1.第一数学归纳法.设是一个关于正整数的命题，如果(1)成立； (2)假设成立，则也成立，那么，对于任意正整数n都成立.2.第二假设法.设是一个关于正整数n的命题，如果(1)成
13、立；(2)假设对于所有适合的正整数成立，则)成立.那么，对于任意正整数都成立.例 设n是个正整数，求多项式的根. 解 当n=1时， 多项式的根为.当时的根为和. 自然可以猜想多项式的根是， 应用数学归纳法证明：对于任意正整数，上面的猜想都成立.假设猜想对于 成立，那么，可以分解为，其中是的系数.重新检查的定义，可以看出，所以.对于n+1,=.因此的根为，,和）. 数学归纳法风格独到，具有固定的模式，但同时它又有极大的灵活性和很强的技巧性.2.3 枚举与筛选当我们面临的问题存在量的可能的答案，而暂时又无法排除这些答案的大部分时，就不得不采用检验这些答案中大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策
14、略，也就是利用枚举与筛选的策略来解题.枚举与筛选解题时，重要的是做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里质量检验员的责任是把不合格的产品挑出来，不让它出厂，于是就对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品. 例 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.方法是：三个数字只有900个，可以枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量.设这个三位数百位、十位、个位的数字分别为,.由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以，从而所以三位数必在以下数中：100，101,102,103,110,111,112，120,121,122,130,200,201,202，211,212,220,221,300,301,310.不难验证只有100,101，两个数字符合要求.2.4 逻辑类分法在遇到复杂问题时候，难以处理时，可以把问题划分为有限多个子问题来处理，然后再有针对性地逐一排除解决，最后把各个子问题的结论都归纳起来而得到整个问题的结论，这一种分类论证的方法叫逻辑分类法.施行逻辑分类法的好处是针对每一个子问题而言，原来中的某些不确定因素变成了确定性因素，使问题的解有了新的重要前提条件.对于同一个问题的研究可以有不同的分
