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1、1.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，/ APC=60 ,则二二面角 A- PB- C的平面角的余弦值为（)1111A.B.-C.D.77222007年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：上午 8 00 9: 40） 、选择题（本题满分 36分，每小题6分）2.设实数a使得不等式|2x- a|+|3x- 2a|a2对任意实数x恒成立，则满 足条件的a所组成的集合是（）PABCA.1 13,3B. 2,1 C. 1,12 24 3D. -3, 33. 将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个
2、球，其号码为bo则使不等式a- 2b+100成立的事件发生的概率等于（）52596061A.B.C.D.818181814. 设函数f（x）=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af（x）+bf（x- c）=1对任意实数 x恒成立，则bcosc的值等于（）1 1A. -B. -C. -1D. 12 25. 设圆01和圆02是两个定圆，动圆 P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）0（ | （ a.n（;.n,6. 已知A与B是集合1 , 2, 3，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AAB空集。若n A时总有2n+2 B，则集合AU B的元素个数最多为（）
3、A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分 54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A（- 3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一个动点P，则 |PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 。8. 在厶ABC和厶AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA V33，若AB AE AC AF 2，则EF与BC的夹角的余弦值等于 。239. 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则3球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。10. 已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公
4、比q是小于1的正有理数。若a1=d，2 2 2 b1=d2,且色一生一亞是正整数，则q等于。b b2 b3sin（ n X cos（ n X 2 1511. 已知函数f （x）（ x ），贝U f（x）的最小值vx44为。12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法 共有种（用数字作答）。三、解答题(本题满分 60分，每小题20 分)13.设 an求证:当正整数n 丝 时，an+ian。114.已知过点(0, 1)的直线I与曲线C： y x (x 0)交于两个不同点 M和N。求曲线C x在点M、N处切线的
5、交点轨迹。15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2R=f(x)，求证：存在 4个函数fi(x)(i=1 , 2, 3,4)满足：(1)对i=1 , 2, 3, 4, fi(x)是偶函数，且对任意的实数x,有fi(x+ n=fi(x); ( 2)对任意的实数 x,有 f(x)=f 1 (x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午 10: 0012: 00）A一、（本题满分50分）如图，在锐角厶 ABC中，AB0成立的事件发生的概率等于（D ）52596061A.B.C.D.81818181解：甲、乙二人每人
6、摸出一个小球都有 9种不同的结果，故基本事件总数为 92=81个。由不 等式a-2b+100得2ba+10,于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形 a可取1、2、9 中每一个值，使不等式成立，则共有 9X5=45种；当b=6时，a可取3、4、9中每一个 值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有 5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有 3种；当b=9时，a只能取9,有1种。于是，所求事件的概率为45 7 5 3 16181 81 4. 设函数f（x）=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af（x）+bf（x- c）=1对任意实数 x恒成立，则bco
7、sc的值等于（C ）a11A.B.C. -1D. 1221解：令c= n,则对任意的x R,都有f(x)+f(x- c)=2，于是取a b - , c= n,则对任意的x2 R , af(x)+bf (x- c)=1 ,由此得bcosc1。a一般地，由题设可得f(x),13 si n(x ) 1,f(x c).13 sin(xc) 1 ,其中n20且ta n,于是23af(x)+bf (x- c)=1 可化为,13asin(x ). 13bsin( xc) a b1,即,13a si n(x)13bs in (x)cosc . 13b sin ccos(x)(a b 1)0,所以.13(a b
8、cosc) s in(x).13b sin ccos(x)(a b1)0。a bcosc0(1)由已知条件，上式对任意x R恒成立，故必有bsin c0(2),a b 10(3)若b=0,则由知a=0,显然不满足式，故b0。所以，由(2)知sinc=O,故c=2kn+ n或c=2kn：k Z)。当 c=2kn时，cosc=1，则 、(3)两式矛盾。故 c=2kn+Z), cosc=- 1。由1 b cos c(1)、(3)知 a b ，所以1。2 a5. 设圆01和圆02是两个定圆，动圆 P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是(A )0( |( A.B.C.D解：设圆01和圆02的半径
9、分别是r1、r2, |O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为2c2c01、02,且离心率分别是和的圆锥曲线(当1=2时，0102的中垂线是轨迹A D |r1 r21的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆)。当r1=r2且门+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项 B ;当02c|r1- r2|时，圆P的圆心轨迹如选 项C ;当12且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项 D。由于选项 A中的椭圆和双曲线的 焦点不重合，因此圆 P的圆心轨迹不可能是选项 A。6. 已知A与B是集合1 , 2, 3，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且 为AAB空集。若n A时总有2n+2 B，则
10、集合AU B的元素个数最多为( B )A. 62B. 66C. 68D. 74解：先证|A U B06，只须证|A|33，为此只须证若 A是1 , 2,，49的任一个34元子集, 则必存在n A，使得2n+2 B。证明如下：将1 , 2,49分成如下 33 个集合：1 , 4 , 3 , 8 , 5 , 12，,23 , 48共 12 个;2, 6, 10, 22 , 14, 30 , 18, 38共 4 个；25 , 27 , 29,49共 13 个; 26 , 34 , 42 , 46共4个。由于A是1 , 2,49的34元子集，从而由抽屉原理 可知上述33个集合中至少有一个 2元集合中的数均属于 A,即存在n A,使得2n+2 B。如取 A=1 , 3 , 5,23 , 2 , 10 , 14 , 18 , 25 , 27 , 29 ,49 , 26 , 34 ,
