湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002）1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具我们把满足的矩阵A叫做幂等矩阵，把满足的线性变换叫做幂等变换文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件本文试图通过引入k次幂等矩阵和k次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n阶k次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b，其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系的矩阵称为幂等矩阵显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即；1.1.4若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵；1.1.5若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令nn幂等矩阵的秩为r,则有个特征1和个特征值0；1.1.7所有的幂等矩阵都可对角化的：；1.1.8一个对称的幂等矩阵可以表示为，其中满足；1.1.9设有全矩阵，则是一个幂等矩阵；1.1.10若方阵B是幂等矩阵，则和也是幂等矩阵；1.1.11若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n。
2.k次幂等变换与k次幂等矩阵 定义2.1 把满足的矩阵A叫做k次幂等矩阵，把满足的线性变换叫做k次幂等变换显然，幂等矩阵(变换)必是2次幂等矩阵(变换)，对合矩阵是3次幂等矩阵，所以，k次幂等矩阵(变换)是幂等矩阵(变换)与对合矩阵(变换)的统一和推广另外，容易验证以下命题：命题2.1 设是以n维线性空间V的基，那么，V上的任意k次幂等变换关于该基的矩阵是k次幂等矩阵反过来，任意k次幂等矩阵都是某个k次幂等变换关于该基的矩阵从而，k次幂等矩阵与k次幂等变换有平行的性质定义2.2 设A是k次幂等矩阵，把叫做A的k-余矩阵，记为把的k-余矩阵记为设是k次幂等变换，把叫做A的k-余变换，记为把的k-余变换记为之所以把叫做的余变换，我们会在定理3之后说明原因为了论述方便，我们把本文需要的有关概念和结论陈述如下：定义2.3【3】 设是线性空间V上的线性变换，把叫做的核，把的维数叫做的零度把叫做的值域，把的维数叫做的秩，记为定义2.4【4】 设W1,是线性空间V的子空间，如果，我们称是的余子空间引理2.1【3】 设A是n级矩阵，r(A)表示A的秩，则 （1）； （2）如果AB=0,那么 引理2.2【3,4】 设是以n维线性空间V的基，线性变换关于该基的矩阵是A，那么 的列空间； 其次线性方程组。
性质 定理2.1 如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换证明 显然设有所以使得从而即故设，，，由于所以即于是定理2.2 如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换证明 设有即所以反过来，使得，从而即故从而 设 故即有定理2.3 如果是V上的线性变换，那么是k次幂等变换并且如果是k次幂等变换，那么有证明 设由故有定理2.1可知，，故且从而于是设于是故即再由定理2.1和定理2.2易得 定理3说明，如果是V上的k次幂等变换，那么是的k-余子空间【4】，是的余子空间，这正是定义4中把叫做余变换的原因 定理2.4 n级矩阵A为最次幂等矩阵平行地，n维线性空间V上的线性变换为k幂等变换证明 设在基下的矩阵为A，则在基下的矩阵为，则由引理2.2又知，：由定理2.3和引理2.2直接得到，：设即由于故但故由定理3便知，为k次幂等变换，从而A为k次幂等矩阵 定理2.5 设A为k次幂等矩阵，则A的任意正整数次幂也为k次幂等矩阵平行地，设为k次幂等变换，则的任意正整数次幂也为k次幂等变换 证明 设m为任意正整数， 定理2.6 设A为k次幂等矩阵，则。
平行地，设为n维线性空间V上的k次幂等变换，则证明 由定理5可知，为k幂等矩阵，故，由引理1得但显然，所以 定理2.7 设A为k次幂等矩阵，则有 证明 由定理4得，由定理6得，定理8 A是k次幂等矩阵平行地，如果是k次幂等变换 证明 设，有，同理得，设即，所以A是k次幂等矩阵3. 可逆n阶k次幂等矩阵的性质3.1 预备知识性质3.1[5] 定义3.1 设A，B，若存在可逆矩阵P，使得，则称A与B相似 定义3.2 设A，若存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得则称A为n阶k次幂等矩阵(简称k次幂等矩阵)若A可逆，则称A为可逆n阶k次幂等矩阵3.2 n阶k次幂等矩阵的性质 性质3.2 可逆n阶k次幂等矩阵的转置也是可逆n阶k次幂等矩阵 证明 证明设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1)，使得，则假设存在m∈N-{0，1}且m
证明 设A∈C 且是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得则，由最小数原理可知，一定存在P∈N-{0，1}且p≤k，使得因此是P次幂等矩阵又A是可逆矩阵，则| A |≠0，而，那么，即是可逆P次幂等矩阵 性质3.4 可逆n阶k次幂等矩阵的特征值A是k一1次单位根 证明 设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得 设是A的任意一个特征值，是A的属于特征值的一个特征向量，因而有≠0且，由于则即因为 ≠O，所以，即=0或A=1，因此，A的特征值为0和k-1次单位根又根据可逆矩阵的性质可知，可逆k次幂等矩阵的特征值是k-1次单位根 性质3.5 可逆k次幂等矩阵的逆仍是可逆k次幂等矩阵 证明 设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 k∈N-{0，1}，使得则有假设存在m ∈N-{0，1}且m
证明 设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 k∈N-{0，1}，使得又A是可逆矩阵，将其左右同乘以，得即因此，可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵 性质3.7 如果可逆k次幂等矩阵A与可逆次幂等矩阵B可交换，则AB是可逆P(P∈N-{0，l}，P≤[k-1，-1]+1)次幂等矩阵 证明 由已知，知存在最小正整数k，∈N-{0，1}分别使得因为AB=BA，所以取t=[k一1，一1](其中[a，b]表示a，b的最小公倍数)，则均为正整数令，从而 又A可逆，为此有于是 根据最小数原理，一定存在P∈N-{0，1}且P≤t+1，使得再根据k次幂等矩阵的定义，可知AB是P次幂等矩阵又A，B均是可逆矩阵，则|A|≠0，|B|≠0，而|AB|=|A||B|，那么|AB|≠O，即AB是可逆P次幂等矩阵 推论1 如果是可逆次幂等矩阵且两两可交换，则是可逆p(p N-0，1}，P≤[一1，—1，⋯， 一1]+1)次幂等矩阵 证明 由已知，知存在最小正整数∈N-{0，1}( i=1，2，⋯，k），分别使得又因为两两可交换，所以 取t=[一1，—1，⋯， 一1](其中[a，b，⋯ ]表示a，b，⋯的最小公倍数)，则均为正整数。
不妨设从而又均可逆，为此有于是 即根据最小数原理，一定存在PN-{0，1}且p≤t+1，使得再依据定义有，是P次幂等矩阵又均是可逆矩阵，则而那么，即是P次幂等矩阵 性质3.8 与可逆k次幂等矩阵相似的矩阵仍为可逆k次幂等矩阵 证明 设A是k次幂等矩阵，B是与A相似的矩阵，则存在最小正整数k∈N一{0，1}，使得又由于B与A相似，则存在n阶可逆矩阵Q，使得，则 假设存在m∈N-{0，1}且m
性质3.11 已知A是数域F上可逆矩阵，则存在m∈N-{0}，使得的充要条件是A是p(p∈N-{0，1}，p≤m+1)次幂等矩阵 证明 充分性：因为A是p次幂等矩阵，则存在最小正整数p∈N一{0，l}，使得又A是可逆矩阵，将上式左右同乘以，即得，此时令m=p-1，即有，也就是存在m∈N-{0}，使得 必要性：因为存在m∈N-{0}，使得将其左右同乘以A，有由最小数原理可知，一定存在p∈N-{0，1}且p≤m+1，使得，所以A是P次幂等矩阵命题得证 性质3.12 若A为可逆k次幂等矩阵，则A的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维线性空间 证明 因为A为可逆k次幂等矩阵，由性质6知(k∈N-{0，1})，那么等价于又因为的秩小于等于k-1，故A的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维的线性空间3.3 小结 本文在可逆幂等矩阵的有关概念与性质的基础上，把一般矩阵的性质推广到特殊的可逆n阶k次幂等矩阵，极大的丰富了代数这门课的内涵，推广了可逆幂等矩阵研究的相关理论至于这种推广的理论与实际应用价值如何，其他科学研究将产生何种影响，还有待科研工作者进一步探索与发掘。
4. 幂等矩阵的相似标准型与分解形式 4.1 幂等矩阵的相似标准型 对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵，对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素，对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数接下来我。