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1、word二次函数与圆 答案版1. 2014某某，第26题二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，1求二次函数解析式；2假如=，求k；3假如以BC为直径的圆经过原点，求k第2题图考点：二次函数综合题分析：1由对称轴为x=，且函数过0，0，如此可推出b，c，进而得函数解析式2=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=由B，C为直线与二次函数的交点，如此联立可求得B，C坐标由上述倍数关系，如此k易得3以BC为直径的圆经过原点，即BOC=90，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k可是这
2、个思路计算量异常复杂，根本不考虑，再考虑2的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC而由BOC=90，易证EBOFOC，即EBFC=EOFO有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值解答：解：1二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x2如图1，连接OB，OC，过点A作AEy轴于E，过点B作BFy轴于F，=，=，=，EBFC，=y=kx+4交y=x2+4x于B，C，kx+4=x2+4x，即x2+k4x+4=0，=k4244=k28k，x=，或x=，xBxC，EB=xB=，FC=xC=，4=，解得 k=9交点不
3、在y轴右边，不符题意，舍去或k=1k=13BOC=90，EOB+FOC=90，EOB+EBO=90，EBO=FOC，BEO=OFC=90，EBOFOC，EBFC=EOFOxB=，xC=，且B、C过y=kx+4，yB=k+4，yC=k+4，EO=yB=k+4，OF=yC=k4，=k+4k4，整理得 16k=20，k=点评：此题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程与圆的根本知识题目特殊，貌似思路不难，但假如思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握2. (2014年某某某某，第26题10分在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+k1xk与直线y=kx+1交于A，
4、B两点，点A在点B的左侧1如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；2在1的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值与此时点P的坐标；3如图2，抛物线y=x2+k1xkk0与x轴交于点C、D两点点C在点D的左侧，在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？假如存在，请求出此时k的值；假如不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：1当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；2如答图2，作辅助线，求出ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值与点P的坐标；3“存在唯一一点Q，使得OQC=90的含义是，以OC为
5、直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时OQC=90且点Q为唯一以此为根底，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值解答：解：1当k=1时，抛物线解析式为y=x21，直线解析式为y=x+1联立两个解析式，得：x21=x+1，解得：x=1或x=2，当x=1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，A1，0，B2，32设Px，x21如答图2所示，过点P作PFy轴，交直线AB于点F，如此Fx，x+1PF=yFyP=x+1x21=x2+x+2SABP=SPFA+SPFB=PFxFxA+PFxBxF=PFxBxA=PFSABP=x2+x+2=x2+当x=时，yP=x21=ABP面
6、积最大值为，此时点P坐标为，3设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，如此E，0，F0，1，OE=，OF=1在RtEOF中，由勾股定理得：EF=令y=x2+k1xk=0，即x+kx1=0，解得：x=k或x=1Ck，0，OC=k假设存在唯一一点Q，使得OQC=90，如答图3所示，如此以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC=90设点N为OC中点，连接NQ，如此NQEF，NQ=ON=EN=OEON=NEQ=FEO，EQN=EOF=90，EQNEOF，即：，解得：k=，k0，k=存在唯一一点Q，使得OQC=90，此时k=点评：此题是二次函数压轴题，综合考查了二次
7、函数与一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度第2问中，注意图形面积的计算方法；第3问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得OQC=90的含义3. 2014黔南州，第26题12分如图，在平面直角坐标系中，顶点为4，1的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点点B在点C的左侧，A点坐标为0，31求此抛物线的解析式2过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；3点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时
8、P点的坐标和PAC的最大面积考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：1抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；2根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式与B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比拟即可；3过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PAC的最大面积与对应的P点坐标解答：解：1设抛物线为y
9、=ax421，抛物线经过点A0，3，3=a0421，；抛物线为；3分2相交证明：连接CE，如此CEBD，当时，x1=2，x2=6A0，3，B2，0，C6，0，对称轴x=4，OB=2，AB=，BC=4，ABBD，OAB+OBA=90，OBA+EBC=90，AOBBEC，=，即=，解得CE=，2，抛物线的对称轴l与C相交7分3如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；8分设P点的坐标为m，如此Q点的坐标为m，；PQ=m+3m22m+3=m2+mSPAC=SPAQ+SPCQ=m2+m6=m32+；当m=3时，PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为3，10分点评：此题考查了二次
10、函数解析式确实定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识4. 2013年某某某某12分如图，在平面直角坐标系中，顶点为3，4的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点点B在点C的左侧，A点坐标为0，51求此抛物线的解析式；2过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与C的位置关系，并给出证明3在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形假如存在，求点P的坐标；假如不存在，请说明理由5. 2013年某某某某12分如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为4，0，B点坐标为1，0，以AB的中点P
11、为圆心，AB为直径作P的正半轴交于点C1求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；2设M为1中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；3试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论6. 2013年某某某某14分如图，抛物线y=ax2+bx2a0与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D2，3，tanDBA=1求抛物线的解析式；2点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；3在2中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？假如存在，
12、求出圆心Q的坐标；假如不存在，请说明理由【解答】解：1如答图1，过点D作DEx轴于点E，如此DE=3，OE=2。，BE=6。OB=BEOE=4。B4，0。点B4，0、D2，3在抛物线y=ax2+bx2a0上，解得。抛物线的解析式为：。2在抛物线中，令x=0，得y=2，C0，2。令y=0，得x=4或1，A1，0。设点M坐标为m，nm0，n0。如答图1，过点M作MFx轴于点F，如此MF=n，OF=m，BF=4+m。点Mm，n在抛物线上，代入上式得：，当m=2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9。3假设存在这样的Q，如答图2所示，设直线x=2与x轴交于点G，与直线AC交于点F设直线AC的解析式
13、为y=kx+b，将A1，0、C0，2代入得：，解得：。直线AC解析式为：y=2x2。令x=2，得y=6，F2，6，GF=6。在RtAGF中，由勾股定理得：。设Q2，q，如此在RtAGF中，由勾股定理得：。设Q与直线AC相切于点E，如此QE=OQ=。在RtAGF与RtQEF中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF。，即。化简得：，解得q=4或q=1。存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为2，4或2，1。1如答图1所示，利用条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。2如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。3如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了RtAGF的各个边长；然后证明RtAGFRtQEF，利用相似线段比例关
