《必修四平面向量常考知识点整理和复习典型高考例题分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修四平面向量常考知识点整理和复习典型高考例题分析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量复习知识点1：两个不为零的向量a，b平行，a=lb(l0)如果a,b可以用直角坐标系的坐标表示，那么设a=(m,n),b=(p,q)，那么mq=np如果a,b可以用两个不共线的基向量c,d表示，比如说a=mc+nd，b=pc+qd，那么基向量前面的系数成比例，也就是mq=np在这里强调其实后面两点是一样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量i,j，比如a=(m,n)，也即是a=mi+nj，为了方便，我们写成坐标形式，而这点其实是的一般形式，就是讲两个基向量推广到了不垂直的情况。用这个知识点的例题比如说：【例一】设a与b是两个不共线的向量，且向量a+lb与-(b-
2、2a)共线，则l的值为【解析】要求的两个向量就是用a与b作为基底的，那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例，也即是1l=2-1，也即l=-12AB2【例二】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a，BD=b，则AF=（）111a+ba+b423311Ca+b2412Da+b33【解析】比如说运用这个知识点首先本题的难点在于F点的位置，其在DC中的位置比例，所以首先要确定其位置在哪里，所以，我们设DF=lDC那么我们就可以用一个A,E,F共线来确定l的值所以我们可以用AE,AF用相同基向量表示这两个向量，然后用系数比例的关系求出这
3、个l的值AE=1则4=4l=1111131AO+AD=AC+AD=(AD+AB)+AD=AD+AB22424244AF=AD+DF=AD+lDC=AD+lAB3111l3AF=AD+11AB=(BO+OC)+(AO+OB)33242121=BO+OC=AC+BD=a+b333333【例三】如图，在ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，2）、（5，2）、（3，0），点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN的交点为P，求：（1）点P分向量AM所成的比m的值；（2）P点坐标【解析】这题例题也是同样的道理，（1）主要求P点，假设AP=lAM,因为B,P,N三点共线，所以BP,BN用
4、基向量BA,BC表示，再用待定系数法求得的值。BP=BM+MP=111BC-(1-l)AM=BC-(1-l)(AC+AB)222=11lBC-(1-l)(AB+BC+AB)=BC-(1-l)AB222BN=BC+CN=BC-l1121AC=BC-(AB+BC)=BC-AB33332=-(1-l)l=2(1-l)l=4，所以分向量AM所成的比m的值为13-1所以2254362（2）用比例的方法可以得到P(,)55（总结方法：在图中有未知线段的比例不知道，就可以先设其线段比例为l，然后利用一个三点共线的两向量平行来求解l的值。）知识点2：重要定理（此定理在2013年高考中多省份考到这个知识点）：假
5、设平面上有三点P,Q,C,且这三点共线，另外有不在这条直线上的点O点，可以得到OC=lOP+mOQ,l+m=1证明这个定理：证明：可以由P,Q,C三点共线可以假设PC=tPQ，OC=OP+PC=OP+tPQ=OP+t(PO+OQ)=(1-t)OP+tOQ也即l=1-t,m=tl+m=1不难得出：如果C在PQ线段之间是可以得到0l1,0m1,l+m=1如果C在PQ延长线上时，m1,l1,m0,l+m=1例题讲解【例四】如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，3131112OA-OB，OA+OB，OA+OB，OA+OB,43452331OA-OB若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边
6、界）的45向量有（）个A1B2C3D4【解析】可得在BA的延长线上，如何运用上面的定理主要靠转化成定理的形式，比如说31311OA+OB=(OA+OB)+OB，那么43441231OA+OB的终点在AB线段上，如图1，那443么(OA+4同理可以11OB)+OB就会在如图的阴影部分内。412将3131OA+OB转化为OA+OB=4345311OA+OB-OB44201111将OA+OB转化为OA+OB=23233131将OA-OB转化为OA-OB=4545111OA+OB-OB226319OA+OB-OB4420【例五】（2013安徽卷理9）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满|O
7、A|=|OB|=OAOB=2,则点集P|OP=lOA+mOB,|l|+|m|1,l,mR所表示的区域面积是(A)22(B)23(C)42(D)43【解析】|OA|=|OB|=OAOB=2，可以得到|OA|=|OB|=2，且两个向量的夹角为60，如图可以将两个向量放到半径为2的圆内，如图2。且由|l|+|m|1，可得0|l|1,0m1，那么当0l1,0m1时，可知P点形成的区域为图中灰色区域当0-l1,0m1，将问题转化为OP=lOA+mOB=-lAO+mOB,那么P点形成的区域则是紫色的区域当0-l1,0-m1，将问题转化为OP=lOA+mOB=-lAO-mBO那么P点形成的区域是红色的区域当
8、0l1,0-m1，将问题转化为OP=lOA+mOB=lOA-mBO那么P点形成的区域是黄色的区域所以，综上所述可得P点形成的区域为一个长为23，宽为2的矩形区域，即面积为43，所以答案选D。知识点3：向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分为求解向量之间的夹角和向量的模长。那么要求这几个要素必须要明白其可求解的途径：求解模长，1）如果向量a的坐标(x,y)已知（前提是在直角坐标系下的坐标）那么就可以直接选用勾股定理求解a=x2+y22）如果向量a的坐标不知道，但是a用两个已知的基向量表示出来，并且已知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么可以通过对模长平方来求解，比如：已知c=m,d=n,且cd=r，如果a=pc+qd，则a2=pc+qd2=(pc)2+2pqcd+(qd)2=p2m2+2pqr+q2n2一般在不知道坐标的情况下都可以进行平方求解。3）可以用公式求解cosq=夹角求解1）可以用公式求解cosq=mnmnmnmn2）两向量夹角的范围0qp，两向量的夹角与三角形中角的类型的判断有着密切的联系：若0qp2，则该角为锐角002，则该角为直角cosq=0当a0,b0时，ab=0若q=p若p2qp，则该角为钝角-1cosq0知识点4：1）向量的点积
