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快速判断直线与椭圆位置关系的方法（原创）四川省宜宾县第二中学 傅小力在解决椭圆的选择、填空问题中需要快速判断与坐标轴不平行的直线和椭圆的位置关系时，我建议我的学生：第一步：找出直线与坐标轴的交点，判断是否在已知椭圆内部或在椭圆上，否，则第二步：设椭圆上任一点P（）， ，则，其中，故。结合线性规划的知识，结论如下： 若恒成立 即恒成立，则椭圆上的点都在直线的同一侧，故直线与椭圆相离；若恒成立 即恒成立，同理直线与椭圆相离。如图1。还可用来求直线与椭圆相离时，参数的取值范围：当的最小值即时，直线与椭圆相离； 若恒成立 即恒成立，则椭圆与直线有公共点，除公共点外，其余的点都在直线的同一侧，故直线与椭圆相切；同理恒成立 即恒成立时。如图2。此时，可用来求出切线方程。 若，则椭圆上的点使，三种情况都存在，故椭圆上的点有的在直线的两侧，有的在直线上，所以此时直线和椭圆相交。如图3。可用来求直线与椭圆相离时，参数的取值范围：当的最小值即时，直线与椭圆相交。练习：（1）直线和椭圆的位置关系是 。（填空）解： 所以恒成立 即恒成立，故直线与椭圆相离。（2）直线和椭圆相切时，的值为 。（填空）由上面的结论知时，直线与椭圆相切，所以，即 时，直线和椭圆相切。 熟练掌握后一分钟之内应该能解答出本文提到的这类问题。
