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1、第一章数值计算引论数值计算方法就是要解决如何让计算机计算数值（如解方程、解方程组、求积分等）不仅算得快（用的机时少）、而且也要算得准（与真实值的误差小）的问题。如果光算得快，算得不准（超过了误差范围），计算出来的结果不能用，计算也就没有什么意义。如何才能让计算机既算得快乂算得准（误差达到最小）呢？这就需要掌握一些误差知识。本章介绍的内容i）数值计算方法的含义及其特点；ii）误差的来源；iii）误差的有关概念（绝对误差、相对误差、有效数字）；iv）误差的传播过程；v）算法的数值稳定性概念；vi）选用数值算法的若干原则。第一节数值计算方法研究的对象、内容及特点数值计算方法是应用数学的一个分支，又称
2、数值分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。我们知道，用计算机解决科学计算问题需要经过以下儿个过程：梃出具体问题，鲤立数学模型,选N数值计算方法,程序设计、上步调试直至得出最终数值给京。可见，选用数值计算方法是应用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。数值计算方法特点 （1）面向计算机c根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除和逻辑运算，是计算机所能直接处理的。 （2）有可靠的理论分析。能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。有相应的数学理论做
3、基础。 （3）有好的计算复杂性（包括空间复杂度和时间复杂度）。算法需占用的存储空间要小，运算次数要少。这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。四个特点（数值计算方法）（1）、面向计算机（算法为加，减，乘，除以及逻辑运笫有可靠的理论分析（精度栗求;误差分柝收敛性稳定性）（3合理的计算复杂悻节省时间和空间（41数值实验（通过数值实验，说明算法的有效）第二节误差用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程：据此误差的来源主要有以下四类。（一）建模误差在将实际问题转化为数学模型的过程中，为了使数学模型尽量简单，以便于分析或计算，往往要忽略一些次要的因素，进行合理的简化。这样，实际问题与
4、数学模型之间就产生了误差，这种误差称为模型误差。由于这类误差难于作定量分析，所以在计算方法中，总是假定所研究的数学模型是合理的，对模型误差不作深入的讨论。（二）观测误差在数学模型中，一般都含有从观测（或实验）得到的数据，如温度、时间、速度、距离、电流、电压等等。但由于仪器本身的精度有限或某些偶然的客观因素，会引入一定的误差，这类误差叫做观测误差。通常根据测量工具或仪器本身的精度，可以知道这类误差的上限值，所以无需在数值分析中作过多的研究。（三）截断误差（方法误差）当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断送差域方法误差。譬如在数值计算中，常用收敛的无穷级数的
5、前儿项来代替无穷级数进行计算，即抛弃了无穷级数的后段，这样就产生了截断误差。（四）舍入误差由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点运算过程中都可能产生误差。而事实上，无论用电子计算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，这样产生的误差叫做舍入诧差。在数值计算中，往往要进行成千上万次四则运算，因而就会有成千上万个舍入误差产生，这些误差一经叠加或传递，对精度可能有较大的影响。所以,作数值计算时，对舍入误差应予以足够的重视。小结上述四类误差都会影响计算结果的准确性，但模型误差和观测误差往往需耍会同各有关学科的科学工作者共同研究，因此在计算方法课程中
6、，主要研究截断误差和舍入译差（包括初始数据的南差）对讦算结果的影响：一、绝对误差和绝对误差限定义1假设某一量的准确值为X,近似值为X*,则X与X*之差叫做近似值X*的纶对袭差（简称误差），记为&X）,即8（x）=XX*I（x）|的大小标志着x*的精确度。一般地，在同一量的不同近似值中，Is（x）|越小，X*的精确度越高。当I8（x）|较小时，由微分和增量的关系知X*的绝对误差（x）2dx，故我们可以利用微分估计误差。绝对误差限的概念由于准确值X一般不能得到，于是误差的准确值也无法求得,但在实际测量计算时，可根据具体情况估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正数。使l8(x)l=lxX*区自
7、我们称自为近似值X卡的绝对误差限。有时也用X=x*自表示近似值的精度或准确值的所在范围。在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的。例如，测得某一物体的长度为5m,其误差限为0.01m,通常将准确长度s记为s=50.01即准确值在5m左右，其误差限为0.01m的误差限。相对误差的概念定义2我们把绝对误差与准确值之比r(x)=(x)/x=(x-x*)/x,xWO称为X*的布对课羞由于准确值X往往是不知道的，因此在实际问题中，当l(x)l较小时，常取r(x)=(x)/x*一般地，在同一量或不同量的儿个近似值中，l”(x)l小者精确度高。相对误差限的概念在实际计算中，由于(X)与X都不能准确地求得,因此相
8、对误差(X)也不可能准确地得到，我们只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正数月，使l8r(x)l=|e(x)|/|x*Ir|称ri为近似值x*的相对误差限。当l”(x)l较小时，可以用下式来计算中三、有效数字为了既能表示近似数的大小，又能表示近似数的精确程度，我们下面介绍有效数字的概念(注意：有效数字既能表示近似数的大小，又能表示近似数的精确程度)。半个单位的概念 为了理解有效数字的概念,首先要弄清什么是半个单位。 我们知道，当X有很多位数字时，常常按照“四舍五入”原则取前儿位数字作为X的近似侑X*。 例1设X=71=3.1415926取X*=3作为兀的近似值，则1（x）1=0.1415R
9、.5X10；取X2*=3.14,贝ljI2（x）I=0.001590.5XIO、取X3*=3.1416,贝lJl3（x）l=0Q000074-0.5X104。它们的误差都不超过末位数字的半个单位。有效数字的概念定义3若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。准确数本身有无穷多位有效数字，即从第一位非零数字以后的所有数字都是有效数字。有效数字举例 如例1中的x*,x*2,x*3,分别有1,3,5位有效数字。 实际上，用四舍五入法取准确值X的前n位（不包括第一位非零数字前面的零）作为它的近似值X*时，x*有
10、n位有效数字。 例2设x=4.26972,则按四舍五入法，取2位，X1*=4.3有效数字为2位，取3位，xj=4.27,有效数字为3位，取4位，x3*=4.270,有效数字为4位。特别注意近似值后面的零不能随便省去，如例2中427和4.270,前者精确到4.27,有效数字为3位，取4位，乂3*=4.270,有效数字为4位。可见,它们的近似程度完全不同，与准确值的最大误差也完全不同。有效数字和绝对误差的关系定义3换一种说法就是：设x的近似值x*二O.aja9an-X10p若其绝对误差|e(x)l=lxx*|0.5XIO11则称近似数x*具有n位有效数字。这里p为整数，ara2,，an是0到9中的
11、一个数字且aWOo例如，若x*=0.23156X10-2是x的具有五位有效数字的近似值，则绝对误差是lx-x*l0.5X1025=o5xIO：定义3或式|e(x)l=lxx*|0.5X10pn建立了绝对误差(限)和有威:数字之间的关系。由于n越大，10P-n的值越小，所以有效数字位越多,则绝对误差(限)越小。有效数字与相对误差的关系定理1若近似数X*具有n位有效数字，则其相对误差为lr(x)ll/(2xai)X10(n-l)其中小翔是X*的第一位有效数字。定理1说明有效数字位越多，相对误差(限)越小。定理2形式如x*二0.a1a-anX10p的近似数X*,若其相对误差满足lr(x)ll/2X(
12、ai+l)X10-si)则x*至少有n位有效数字。由此可知，有效数字位数可刻画近似数的精确度，相对误差(限)与有效数字的位数有关。有效数字与相对误差关系举例注意从lEr(x)l1/(2Xa,)X并不能保证X*一定具有n位有效数字。如x=sin2920r=0.4900设其近似值x*=0.484,其相对误差为丝900二丝84=0()123970.005即可知近似值x*并不具有两位有效数字。实际上，x*只有一位有效数字。数值运算中误差的影响要分析数值运算中误差的传播，首先就要估计数值运算中的误差。数值运算的误差估计情况较复杂，通常利用微分来估计误差。二元函数设数学问题的解y与变量X1,x。有关,y=
13、f(X|X,)。若X1,x)的近似值为X/,xR相应解为y*,则当数据误差较小府解的绝对误差(y)=yy*=f(X,x2)-f(xj,x2*)dy=cf(X,x)/?XI*(X)+f(xpxo)/50*(2)解的相对误差Er(y)Qdy/y=Scf(xpx2y5xx/f(xpx9)*Er(Xj)(i=l,2)利用这两式可得到两数和、差、积、商的误差估计。一、算法的数值稳定性概念所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我们选用不同的算法,所得结果的精度往往大不相同。这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了算
14、法的数值稳定性问题。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这个算法具有较好的成皆循定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。算法的数值稳定性概念举例例1一元二次方程X2+2pX+q=0的两个根分别是：x)=_p+(p2q)0-5,x2=-p-(p2-q)05当p=-0.5X10q=l时，方程的两个根取11位有效数字为：X=99999.999990,x2=0.000010000000001在高精度的计算机(进制P=10,字长t=8,浮点阶码下限L=-50,浮点阶码上限U=50)上直接用上述公式计算的结果为：x,=100000.00,x2=0可见，结果很好，而X?很不理想，这说明直接用上述公式
15、计算第二个根是不稳定的，其原因在于在计算X2时造成相近两数相减，从而使有效数字严重损失。请看下面的求解方法。一元二次方程X2+2pX+q=0的求解方法根据根与系数的关系可知XjX7=q=l所以X产1/x因此，如票仍用上述方法算出X1,然后用X产1/x,计算X2,可得xlOOOOO.OO,x2=0.00001000该结果是非常好的。这就说明这种算法有较好的数值稳定性。一般说来，当lpllql时，用公式*=-1-518118)卬2-)。5,x产q/X来求解方程X2+2pX+q=0是数值稳定的。从而可知，算法数值稳定性的讨论甚为重要。二、设计算法的若干原则为防止误差使计算结果失真(失常)现象发生，要选用数值稳定的计算公式，以保证算法的数值
