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1、第二单元 长方体和正方体总结一、 长方体和正方体的特征：形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6128一般六个面都是长方形（也有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6128六个面都是正方形六个面的面积相等十二条棱长都相等上面下面左面后面右面前面长方体：有6个面，相对的面完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到3个面。有12条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；12条棱可以分为3组（分别为长、宽、高），每组的4条棱一样长；长方体的棱长总和=长4+宽4+高4=（长+宽+高）4 有8个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长
2、、宽、高。正方体：有6个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3个面。有12条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长； 正方体的总棱长=棱长12。有8个顶点。练一练：1.一个长方体长、宽、高分别是10cm、7cm、4cm，这个长方体的棱长和是多少厘米？（提示：根据长方体的总棱长公式计算）2.一个长方体的棱长和是160dm，其中，长是20dm，宽是8dm，它的高是多少？从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？3.将一根铁丝长720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？二、长方体和正方体的表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。1. 法一：(1)长方体的表面积（有六个
3、面）=长宽2+长高2+宽高2 =（长宽+长高+宽高）2（因为长方体相对的面完全相同）法二：前、后面：长高2=X左、右面：长高2=Y上、下面：长宽2=Z则长方体的表面积（有六个面）= X + Y + Z2. 正方体的表面积（有六个面）=棱长棱长6（因为正方体的六个面完全相同）在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。所
4、以只要算四个侧面就可以了。（1）具有六个面的长方体或正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；（2）具有五个面的长方体或正方体物品：水池、鱼缸等；（3）具有四个面的长方体或正方体物品：水管、烟囱等。练一练：1. 一个正方体纸箱，棱长8dm，做100个这样的纸箱至少需要多少平方米纸板？（提示：100个需要多少平方米纸板，先算出一个需要多少，也就是求正方体的表面积。注意单位换算）2. 一只无盖的长方形鱼缸，长0.4米，宽0.25米，深0.3米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？（提示：首先明白算哪几个面，画出示意图再做）3. 一个游泳池，长25米，宽10米，深2.4米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷
5、砖的边长是2分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？（提示：1.算哪几个面2.这些面是用瓷砖一块一块砌成的）4. 一间教室的长是10米，宽是8米，高是4米，现在要粉刷教室的屋顶和四壁，除去门窗面积25平方米，粉刷面积是多少？（提示：1.明白粉刷哪几个面，算出面积2.门窗不需要粉刷，要减去25平方米）5. 一个长方体长8厘米，宽4厘米，高4厘米，把它锯成3段，表面积至少增加多少？（提示：1.锯成3段，会有几个锯缝？会增加几个面？2.长方体最小的面是多少，算出之后乘以增加的面数就是所求答案。画出示意图）三、体积与容积单位及换算1.体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。1立方米=1000立方分米
6、 1立方分米=1000立方厘米 食指的手指尖的体积大约是1立方厘米；粉笔盒的体积大约是1立方分米；装29英寸电视机的大纸箱的体积大约是1立方米。2.容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。1升=1000毫升 1毫升=1立方厘米 3.体积单位与容积单位：1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 练一练：1. 在括号内填上合适的单位一大瓶可乐是2（ ） 一瓶哇哈哈矿泉水是600（ ）一个集装箱是20（ ） 一块橡皮大约是10（ ） 2. 6.09立方米=（ ）立方厘米 32.05L=(
7、)立方分米=（ ）ml=（ ）立方厘米四、长方体与正方体体积(或容积)的计算1. 长方体的体积=长宽高 正方体的体积=棱长棱长棱长（棱长的三次方） 长方体或正方体的体积=底面积高 容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，而容积是测量物体内部的数据。不计物体的厚度，体积=容积。2. 不规则物体（不溶于液体）的体积计算放入物体（1）一个水杯，底面积为S,水的高度为h,则水的体积=Sh.当放入石头之后（石头不溶于水且全部浸没在水中），水的高度变为H,则水杯内总体积为=SH.（石头不溶于水，水上升的体积等于石头的体积。）石头的体积=SH-Sh=S(H-h)。拿出物体（2）一个
8、水瓶里有水和铁块（铁块全部浸没在水中），底面积为S,水的高度为H,则水瓶内总体积=SH.当拿出铁块水中物体之后，水的高度变为h,则水杯里水的体积为=Sh.（铁块不溶于水，水下降的体积等于铁块的体积）铁块的体积=SH-Sh=S(H-h)。3.盐溶于水，则 盐的体积+水的体积盐水的体积练一练：1.学校把10.5立方米的沙子铺在长6米，宽3.5米的沙坑里，铺好之后，沙子的厚度是多少？（沙子在沙坑里形成一个长方体，求厚度也就是求长方体的高）挖一个长50米，宽30米，高2米的养鱼池，这个养鱼池的占地面积是多少？如果用水泵往养鱼池里注水12小时，池内水深1.5米，这个水泵每小时注水多少立方米？（提示：1.
9、养鱼池是个长方体，占地面积也就是长方体的底面积或长方体的上面。2.求每小时注入多少水，先算12个小时注入多少水。12小时注入的水是什么立体几何？工作效率（每小时注水的量）工作时间（12小时）=工作总量（水的体积） 第二讲 长方体和正方体一、长方体和正方体的认识【知识点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有
10、6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！练习：（1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相
11、邻的面的面积也都相等。（ ） 15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）（2）填空：1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。3、 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。4、 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长和4 长方体棱长和=下面周长2+高4 长方体棱长和=右
12、面周长2+长4 长方体棱长和=前面周长2+宽4 正方体棱长和=棱长12 棱长=棱长和12棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？3020cm20cm 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高4+长2+宽2+打结部分长度 204+302+10=150cm练习： （1）看图2-6，并填空 单位：厘米这个长方体长()厘米，宽()厘米，高()厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是( )厘米。棱长总和是( )厘米。上下两个面是( )形。（2）看图2-7并填空单位：厘米这是一个( )体，正方体的棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的面积是( )平方厘米。（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。（4） 把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。（7）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。（7）一个
