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1、wordStolz定理的假如干应用 XXXX(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)摘 要极限思想是许多科学领域的重要思想之一为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法Stolz定理，并对Stolz定理的结论进展了推广本文先表示有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理与其推广的有关结论在极限求解中的应用Stolz定理可以说是数列的LHospital法如此，它对求数列的极限很有用Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形关键
2、词 Stolz定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and puting ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughtsIn order to solve asks the lim
3、it the question，this article introduced the putation limits one methodStolz theorem，and has popularized the conclusion of Stolz theoremThis article first narrates related Stolz theorem some known conclusions，then in the limit solution through the example explained the application of the Stolz theore
4、m and its popularized related conclusionThe Stolz theorem can be said to be sequence LHospital principle，it is very useful to asks the sequence the limitThe Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to bee very easyThe Stolz the
5、orem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and functionThis article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of functionKeywords Stolz theorem; sequence; function; limit目 录摘要 关键词Abstract Keywords1 引言 12 序列形式的Stolz定理 12.1 型Stolz公式 12.2 型Stolz
6、公式 32.3 序列形式的Stolz定理应用 43 函数形式的Stolz定理 103.1 型Stolz公式 103.2 型Stolz公式133.3 函数形式的Stolz定理应用14结论 18致谢 19参考文献 20文档1 引言极限论是数学分析的根底，极限问题是数学分析中困难问题之一中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值两问题有密切关系：假如求出了极限的值，自然极限的存在也被证明反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系极限思想是许多科学领域的重要思想之一因为极限的重要性，从而怎
7、样求极限也显得尤其重要对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法本文介绍了计算极限的一种方法Stolz定理，并对Stolz定理的结论进展了推广，讨论如何利用Stolz定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想本文先表示有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理与其推广的有关结论在极限求解中的应用Stolz定理可以说是数列的LHospital法如此，它对求数列的极限很有用Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易Stolz定理是证明
8、数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形2 序列形式的Stolz定理2.1 型Stolz公式定理2.1 (型Stolz公式) 设严格递增(即有)，且假如，如此(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)因为严格递增，所以，记 (1)按条件有，即，当时，有由(1)得两边同时除以，再同时减去，得因为，故，使得时有于是所以2(的情况)因为，所以对，当时，即时， (2)且有 所以当时，严格递增(2)式中令 ，然后相加，可得令，知，即于是 严格递增，且由1的结论得，故3(的情况)只要令即可转化为2中的情况注，一般推不出例如，这时虽然，但不趋向注假如，在Stolz定理中
9、设，因为，所以因而Stolz定理是它的推广形式2.2 型Stolz公式 定理2.2 (型Stolz公式) 设时，严格0(严格单调下降趋向零)假如，如此(其中为有限数，或)证1(为有限数的情况)因为时，严格0(严格单调下降趋向零)所以，按条件，可知，,当时，有即 可得 令，得 ，即所以2(的情况)因，所以对，当时，有推得令，得，即故3(的情况)只要令即可转化为2中的情况注Stolz定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要例如，虽然不存在，但是却有另外，型，其实只要求分母(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子是否趋向无穷大，型因为定理要求分子、分母都以0为极限因此，Stolz定理为求某些待定型极限
10、提供了一个有用的工具2.3 序列形式的Stolz定理应用Stolz定理，对于求序列的极限十分有用例1应用Stolz定理求极限：(1) ；(2) 解 (1) 由Stolz定理，得(2) 因为，所以，由Stolz定理，得例2设，证明：证 设，如此，使得由于，故单调减因此，当时，有，可知令，对递推公式取极限，得即是单调减的无穷小量，利用Stolz定理例3设数列收敛于，如此当时，有证 由Stolz定理，有Stolz定理，必要时可以重复使用例4设，其中，求解 由于单调增且发散于，由Stolz定理有时问题经过处理之后，方能应用Stolz定理例5 设试证：极限存在时，证 因，只须证明第一项趋于零为了利用，特
11、令，如此知，且于是所以例6设，当时有极限；为单调增的正数数列，且证明：证 设由于，所以由Stolz定理，得例7求解 先取对数，再求极限应用Stolz定理，得故例8 设数列，满足：，其中证明：证显然成立设假如，显然有假如，如此令，由知，是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz定理得所以，即例9设为自然数，求如下各极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解 (1) 设，因为，所以单调增，且又于是，由Stolz定理得(2) 因为，现设，因为，所以单调增，且又故由Stolz定理得：当为自然数时(3) 设，如此单调增，且又因为所以，由Stolz定理(4) 设，如此由知，单调增，且又因为，所以注意仍
12、为型，且满足Stolz定理条件可知故3 函数形式的Stolz定理为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz定理的根底上，给出了Stloz定理的推广定理，并对定理进展了证明3.1 型Stolz公式定理3.1 (型) 假如为常数，() ；() (当时)，且，在内闭有界(即指：，在上有界)；() 如此(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)按条件(当时)，与知，当时有， (1)记 (2)如此在除以，减去，得由(1)式知 ，因为，按条件，在上有界，即，使得于是但(当时)，故，当时有所以 (3)故，总与，使得从而由(3)式知 即2(为的情况)因与，故，当时，从而，有由此两边同时除以，得注意到在上有界，而，所以，时，于是因，与，使得故即3(为的情况)可考虑即可转化为2中的情况3.2 型Stolz公式定理3.2 (型) 设T0，且() ；() ；() 如此(其中为有
