《2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【52】(含答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【52】(含答案)(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业52直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题(每小题5分,共40分)1(2014嘉兴一模,8)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点设O为坐标原点,则等于()A3BC或3 D解析:依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y0tan45(x1),即yx1,代入椭圆方程y21并整理得3x24x0,解得x0或x,所以两个交点坐标分别为(0,1),(,),同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得.答案:B2(2014石家庄一模)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A,B,C,D,则的值为()A16 B.C4 D.解析:由得x
2、23x40,xA1,yA,xD4,yD4,直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1),且该圆圆心为F(0,1),|AF|yA1,|DF|yD15,故选B答案:B3(2014潍坊一模)直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A,B两点,若|AB|4,则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析:直线4kx4yk0,即yk(x),即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(,0)设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x24,故x1x2,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x0的距离是.答案:C4直线ykx1,当k变化时,此直线被椭圆y21截得的最大弦长是()A4
3、 B.C2 D不能确定解析:方法一:直线ykx1恒过定点P(0,1),且是椭圆的上顶点,因而此直线被椭圆截得的弦长,即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cos,sin),|PQ|2(2cos)2(sin1)23sin22sin5当sin时,|PQ|,|PQ|max.方法二(排除法):直线ykx1恒过定点(0,1),该点是椭圆y21的上顶点,椭圆的长轴长为4,短轴长为2,而直线不经过椭圆的长轴和短轴,因此排除A,C;将直线ykx1绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条相交弦,其中必有最大弦长,因此排除D.故选B.答案:B5(2014台州质检)设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于
4、不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析:由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|BF2|,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角的正切值为,结合图形易得tan,故|CF1|CF2|F1F2|2c,整理并化简得b2(a2c2)ac,即(1e2)e,解得e.答案:C6(2014吉安一模)抛物线y22px与直线2xya0交于A,B两点,其中点A的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|FB|的值等于()A7 B3C6 D5解析:点A(1,2)在抛物线y22px和直线2xya0上,则p2,
5、a4,F(1,0),则B(4,4),故|FA|FB|7.答案:A7(2014宁波十校联考)设双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2()A12 B42C52 D32解析:如图,设|AF1|m,则|BF1|m,|AF2|m2a,|BF2|m2a,|AB|AF2|BF2|m2am2am,得m2a,又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,可得m2(m2a)24c2,即得(208)a24c2,e252,故应选C.答案:C8(2014辽宁大连一模)已知双曲线1的右焦点为F,若过点F的直
6、线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是()A(,) B(,)C, D,解析:由题意知,F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图像,数形结合可知应选C.答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)9直线l:x1与椭圆x21交于A,B两点,O为原点,则OAB的面积为_解析:l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2),SOAB211.答案:110(2014琼海一模,13)椭圆y21的弦被点(,)平分,则这条弦所在的直线方程是_解析:设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x21,y1y21.A,B在椭圆上,
7、y1,y1.(y1y2)(y1y2)0,即,即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y(x),即2x4y30.答案:2x4y3011(2014郑州一模)已知双曲线x21上存在两点M,N关于直线yxm对称,且MN的中点在抛物线y218x上,则实数m的值为_解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1),显然x1x2.3,即kMN3,M,N关于直线yxm对称,kMN1,y03x0,又y0x0m,P(,),代入抛物线方程得m218(),解得m0或8,经检验都符合答案:0或8三、解答题(共3小题,每小题15分,共45分解答写出
8、必要的文字说明,证明过程或演算步骤)12在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,)、(0,)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线ykx1与C交于A、B两点,k为何值时?解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,),(0,)为焦点,长半轴为a2的椭圆,它的短半轴b1,故曲线C的方程为x21.(2)由消去y并整理得(k24)x22kx30,(2k)24(k24)(3)16(k23)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.由,得x1x2y1y20.而y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1,于是x1x
9、2y1y21.由0,得k,此时.13给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点P的轨迹方程;(3)过点B(1,1)能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由解:(1)设弦的两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),又x1x24,y1y22,所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,
10、y2),按照(1)的解法可得,由于P1,P2,P,A四点共线得.由可得,整理得2x2y24xy0,检验当x1x2时,x2,y0也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在,按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解,因此满足题设条件的直线m是不存在的14(2014临沂一模)在圆x2y24上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|DM|,点P在圆上运动(1)求点M的轨迹方程;(2)过定点C(1,0)的直线与点M的轨迹交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在
11、,请说明理由解:(1)设P(x0,y0),M(x,y),则x0x,y0y.P(x0,y0)在x2y24上,xy4.x22y24,即1.点M的轨迹方程为1(x2)(2)假设存在当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0),联立方程组整理得(12k2)x24k2x2k240,x1x2,x1x2.(x1n,y1)(x2n,y2)(1k2)x1x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)(k2n)k2n2n2n2(2n24n1).是与k无关的常数,2n0.n,即N(,0),此时.当直线AB与x轴垂直时,若n,则.综上所述,在x轴上存在定点N(,0),使为常数