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1、602y=-15x-y=1515060例2设A为圆周上一定点, 率。在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径 2倍的概几何概型例题分析及练习题(含答案)例1甲、乙两人约定在下午 4:005:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x为甲到达时间，y为乙到达时间.建立坐标系，如图|x_y性15时可相见，即阴 2 260 - -45影部分P二cf BCDP =-圆周12解：| AB|=| AC |. 2R.1-21例3将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过1的概率。2解：设第一段的长度为x,第二段的长度
2、为y,第三段的长度为1-x-y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为J =(x, y)|O ：x ：1,0 ：y ：1,0 ：x y ：1，即图中黄色区域，此区域面积为1事件“三段的长度都不超过1 ”所对应的几何区域可表示为2 111A =(x, y)| (x,yb 11，x , y ,1 - x - y 222即图中最中间三角形区域，此区域面积为1 (1)2 J2 2 81此时事件“三段的长度都不超过1”的概率为P二直=2 1225km，例4两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是下午3： 00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处
3、,向基地行驶，试问下午 3： 00,他们可以交谈的概率。解：设x, y为张三、李四与基地的距离x0,30，y 0,40，以基地为原点建立坐25 二标系.他们构成实数对（x, y），表示区域总面积为1200,可以交谈即x2 y2乞25 丄兀252故 P = 412001922x ax 0两根均例5在区间-1,1上任取两数a,b，运用随机模拟方法求二次方程 为正数的概率。2二 a 4b _ 0X1解:（2）x? = _a 0x2 = b 0（1）利用计算器产生o变换 a =印“ 2 -1 ,(3)从中数出满足条件b至1区间两组随机数abib = d 2 -11 2a且a 0且b 0的数m4(4)f
4、 mP（n为总组数）:，二- -，事件A表示“厶ABC是锐角三角解法1：记 ABC的三内角分别为 形”，则试验的全部结果组成集合-（: , ：）|0 ，:二，0 ：因为 ABC是锐角三角形的条件是n. 3T3T0 P 一且oc+Pa 22所以事件A构成集合A = （:, ：）|,0 ： : ,2由图2可知，所求概率为p A的面积0的面积2解法2 :如图3所示建立平面直角坐标系，A、B C1、C2为单位圆与坐标轴的交点，当 ABC为锐角三角形，记为事件 A。则当C点在劣弧C1C2上运动时，ABC即为锐角三角形，即事件A发生，所以12 二 d P（A）宁 J2兀 4利用图形的几何度量来求随机事件解
5、决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形,的概率。例7将长为L的木棒随机的折成 3段，求3段构成三角形的概率.解：设M二“3段构成三角形” .x y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L 一 x y .- 乂 x y）| 0 x . L,0 ： y ： L,0 ： x y ： L /.由题意，x, y, L-x-y要构成三角形,1须有 x y .LX_y，即 x，y 2x (L -x - y) y，即 y L ; y (L即 x ： L .2故 M = (x, y) | x y L, I2xJ2如图 1 所示M的面积P（M）=人的面积,可1- L2 22求概率_X _ y) x ,为例
6、8在区间0,上任取三个实数X,y, z，事件A 二(x, y, z)| x2 y2 z2 1.（1）构造出此随机事件对应的几何图形;（2）利用该图形求事件 A的概率.解：（1）如图2所示，构造单位正方体为事件空间1在第一卦限的 丄球即为事件 A .81 4 1，正方体以O为球心，以1为半径例9例5、如图所示，在矩形ABCD中，AB = 5, AC = 7现在向该矩形内随机投一点 P, 求.APB .90时的概率。解：由于是向该矩形内随机投一点P,点P落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD是区域要使得.APB 90，须满足点P落在以线段AB为直径的半圆内，以 线段AB为直径的半圆可看作
7、区域 A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件 A， 于是求.APB 90时的概率，转化为求以线段 AB为直径的半圆的面积与矩形 ABCD的1 5 n 25面积的比，依题意得，25 二m - 35，故所求的%二丄二G）2 =乩，矩形ABCD的面积为2 2 8概率为P（A） = 8=53556点评：挖掘出点 P必须落在以线段AB为直径的半圆内是解答本题的关键。课后习题1.一枚硬币连掷A. 14B.3次，至少出现两次正面的概率是（1C.2D.-3答案:2.在正方形ABCD内任取一点则使.APB : 90的概率是（nA.-8B.C.nD. 1 -4答案:3.已知地铁列车每10min到站一次，
8、且在车站停 1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A.丄10B.11C.601D.11答案：D2m的概率是（1A.2)1B.-31C.41D.-5答案：B4在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于5.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是nA.16B.7CnC.4D.7C答案：B6在线段0,3上任取一点，则此点坐标小于1的概率是1答案：37.在1万平方千米的海域中有 40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻1探，钻到油层面的概率是答案：亠250&从1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种
9、子，从中随机取出10ml，则其含有麦锈病的种子的概率是.答案：0.019将数2.5随机地（均匀地）分成两个非负实数，例如2.143和0.357或者、3和2.5 3 ,然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取2和0,在第二个例子中2取2和1那么这两个整数之和等于 3的概率是多少？（答案：-）511.在等腰直角三角形3）4ABC中，在斜边 AB上任取一点 M,求AM小于AC的概率。（答案:P 1312.设p在0，5上随机地取值，求方程 x2px0有实根的概率。（答案：4 2513.在集合（ x, y） | 0乞x乞5,0乞y 4内任取一个元素，能使代数式x 匚1。的概43123率是多少？（答案：）10
