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1、代几综合知识点精一、二次函数的定义黑体小四一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数黑体小四二、二次函数的图象黑体小四1二次函数图象与系数的关系（1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下反之亦然决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线
2、的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点3.点的坐标设法 一次函数（）图像上的
3、任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点. 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点 点关于的对称点为4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断的正负性 根据抛物线的对称轴判断的大小 根据抛物线与轴的交点，判断的大小 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式 根据抛物线的顶点，判断的大小三、二次函数的图象及性质1 二次函数的性质：抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
4、向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3 二次函数或（）的性质开口方向： 对称轴：（或）顶点坐标：（或）最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大；如图2所示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右
5、侧，随的增大而减小；与坐标轴的交点：与轴的交点：（0，C）；与轴的交点：使方程（或）成立的值点睛提分一、动点与特殊图形的存在性问题这部分压轴题的主要特别是先求函数的解析式，然后在函数的图象上探求符合几何条件的点。1、动点与等腰三角形问题兵法：1.画出图形，需要分类讨论，已知边为底，则利用中垂线找出另一个点已知边为腰时，有两种情况，分两个端点去画圆，交点即为要求的点2.设出要求点的坐标，然后利用两点间距离公式求出点的坐标或者作出高线利用相似三角形来求解【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，O
6、CAC，C120现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图，现有MCN60，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M，N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发
7、生变化，请说明理由AQCBPOAxy图AMCBNOAxy图AQCBPOAxy图ED【解析】 （1）如图，过点C作CDOA于点DOCAC，ACO120，AOCOAC30OCAC，CDOA，ODDA1在RtODC中，OC （）当0t 时，OQt，AP3t，OP23t过点Q作QEOA于点E，则EQtSOPQ OPEQ(23t)tt 2tAQCBPOAxy图即S t 2t （）当t 时，如图，OQt，OP3t2BOA60，AOC30，POQ90SOPQ OQOPt(3t2)t 2t即S t 2t故当0t 时，S t 2t，当t 时，S t 2t （2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）AMCBNO
8、Axy图F（3）BMN的周长不发生变化如图，延长BA至点F，使AFOM，连结CFMOCFAC90，OCAC，MOCFACMCCF，MCOFCA FCNFCANCAMCONCAOCAMCN60FCNMCN又MCCF，CNCN，MCNFCNMNNF BMMNBNBMNFBNBOOMBAAFBABO4BMN的周长不变，其周长为4 【例2】 如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y，要使DE
9、F为等腰三角形，m的值应为多少？ABCDEF【解析】 （1）EFDE，DEF90，BEFCED90BEFBFE90，BFECED又BC90，RtBFERtCEDABCDEF，即yx 2x （2）若m8，则yx 2x( x4)22当x4时，y的值最大，y最大2 （3）若y，则x 2xx 28x120，解得x12，x26 DEF中FED是直角，要使DEF为等腰三角形，只能DEEF此时RtBFERtCED当EC2时，mCDBE6 当EC6时，mCDBE2即m的值应为6或2时，DEF是等腰三角形 【例3】 已知抛物线yax 2bxc（a0）的图象经过点B（12，0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求
10、该抛物线的解析式：（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由CAByxOPDQ【解析】 （1）方法一：抛物线过C（0，6），c6，即yax 2bx6由 解得a，bCAByxOPDQHEFM2M4M5M3M1x1该抛物线的解析式为yx 2x6 方法二：A、
11、B关于x2对称，A（8，0）设ya(x8)(x12)，C（0，6）在抛物线上6a(08)(012)，a该抛物线的解析式为y(x8)(x12)即yx 2x6 （2）存在，设直线CD垂直平分PQ在RtAOC中，AC10AD点D在对称轴上，连结DQ，显然PDCQDC由已知PDCACDQDCACD，DQAC DBABAD201010DQ为ABC的中位线，DQAC5 APADPDADDQ1055，t515（秒）存在t5秒时，线段PQ被直线CD垂直平分在RtBOC中，BC，CQ点Q的运动速度为每秒单位长度（3）存在 过点Q作QHx轴于H，则QH3，PH9在RtPQH中，PQ 当MPMQ，即M为顶点时设直线
12、CD的解析式为ykxm（k0）则： 解得 y3x6当x1时，y3，M1（1，3）当PQ为等腰MPQ的腰且P为顶点时设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：4 2y 2()2，yM2（1，），M3（1，）当PQ为等腰MPQ的腰且Q为顶点时过点Q作QEy轴于E，交直线x1于F，则F（1，3）设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：5 2( y3)2()2，y3M4（1，3），M5（1，3）综上所述，存在点M，使MPQ为等腰三角形，点M的坐标为：M1（1，3），M2（1，），M3（1，），M4（1，3），M5（1，3）【例4】 如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDPQEHR【解析】 （1）A90，AB6，AC8，BC10点D为AB中点，
