声波的辐射(三)—Radiation of sound waves(3) Keynotespeaker: Shiqing Liu 教学要求：理解镜象原理的概念；明确线列阵（点源辐射器组）的指向性；理解和掌握圆形平面活塞辐射的基本原理及其声场求解的一般思维方法，求解圆形平面活塞辐射器的辐射阻抗，掌握圆形平面活塞辐射器的远近场特性，能较熟练求解其它形状活塞声源（如矩形等）辐射声场问题教学手段：讲授或多媒体六、镜像原理（principle of Mirror image）〖引入〗 简要复习前节内容要点在电学中我们常利用镜象原理求解静电场问题，同样在声学里我们也可利用镜象原理来求解一些特殊的辐射声场问题，如靠近平面边界的点源辐射声场等往往使求解过程变的直观简单 1/ A r2= P r1 r θ 边界 1 镜像原理1．刚性壁附近点声源的辐射声场 如图，点声源“1”距刚性壁b/2参考点P处的声压为直达声和壁面反射声的合成一般讲，求得此情况严格的数学解比较困难（即为求满足刚性界面边界条件波动方程的解） 刚性壁的边界条件： 声压波腹，振速波节。
回忆两靠近的同相小球源的辐射声场分布特点：其中垂面上声压加强（波腹）；而径向振速沿中垂面面法向的分量等值反向相抵（波节） 此两问题等效，即刚性壁附近点声源的辐射声场分布与点声源“1”和其以壁面对称的 “同相虚声源（镜象）”所产生的合成声场是等效的换言之，刚性壁对声源的影响等效于一个镜象虚声源的作用此即镜像原理2．“绝对软”界面附近点声源的辐射声场 边界条件：声压波节，振速波腹回忆：对于“偶极子”声源，在其中垂面上的声压和面法向振速有此特点故可以边界为“镜面”引入一“反相虚声源”，组成“声偶极子”来等效刚性壁 点声源 刚性壁 l 刚性壁附近点声源的辐射声场与两同相小球源辐射声场等效；“绝对软”界面附近点声源的辐射声场与声偶极子辐射声场等效 求解如图的无限大刚性壁附近点声源声场七、 简单线列阵(The simple line array) 引入：前面讨论了两个同相小球点源组合声源的辐射问题，其指向性不是很好为使声辐射能量集中，常不希望出现次极大在满足条件时，两同相小球辐射主声束任比较宽，其全角宽度一般大于60度通常抑制副极大和减小主声束宽度是矛盾的，为改善这种结构声源辐射指向性，通常利用许多点声源组合阵列（按直线或曲线）——线列阵或声柱。
如电声技术中的小扬声器阵列，声扫描成像探头的换能器阵列等线列阵辐射类似光学中的多缝干涉Model：l Consider a line of N simple sources with adjacent elements spaced distance b apart, ，as shown in Fig.Fig. N simple line arrayr ri rN r1 l If all sources have the same source strength and radiate waves with the same phase, then the i th source generates a pressure wave of the form (7.1)l Total pressure at the field point is the summation (7.2)l If we restrict attention to the far field( specified by the condition r>>d), we can approximate by assuming all ri are parallel.l In far field , ri in amplitude can be replaced with r 1．辐射声压由（7.1）式得合成声压其中 ； 而则化简得总声压表达式为由上式，显然当θ®0时，有 为单极子声压的N倍。
2．指向函数 当 ，有 及 从而Ø 讨论：1）当，即总声程差为波长整数倍时对应声压极大值方向，2）当，即总声程差为半波奇数倍时，对应声压为0的方向 主声束的宽度（全角宽度）为 3）指向图例l 可见，线阵越长(点声源数目越多), 主声束越窄, 指向性越强;当总长度d一定，点声源数目越多，主声束越窄，指向性也越强3．辐射声能量 （7.4）式可写为，pA为各声源声压幅值远场（r>>d）质点振速为 声强为 （7.8）最大声强为（θ=0） ` （7.9）4．辐射声场特点 1) N个点声源组成的线列阵，在θ=0方向上声强是单个点声源的N倍这是由于各点声源之间产生干涉的结果线列阵的这种指向特性被广泛应用于厅堂、剧院等扩声系统中 2） 低频辐射时，D(θ)»1，线阵无指向性事实上，低频无指向，频率越高指向性越强，这是声辐射（包括其他辐射，如电磁波）的共性。
在学习了声波的辐射后我们应该建立起这样的物理图象八、 圆形平面活塞辐射器(circular plane piston radiator) 模型：表面面各点作等幅同相振动的平面振子意义：实际应用中有许多声源在低频时可看作这种平面活塞振子，如低频扬声器、共鸣器等dS r h θθx y z r P φO 1．远场声辐射特性1.1 辐射声压无限大平面障板表面嵌有一半径a的圆形平面活塞，表面振速，面元dS，强度，其在观察点P处产生的声压为（设初相位为0） （8.1）总声压 （8.2）远场（r>>a）有几何关系：则 （8.3） 而 并利用柱Bessel函数性质 最后得总声压表达式为 （8.4）1.2 辐射指向性 由（8.4）式 （8.5）i) 指向图可见，当ka较小（一般<1）时，辐射几乎各向均匀，近乎单极子辐射；随着ka的增大（频率越高），指向性越尖锐，但旁瓣也越多。
ii) 主声束角宽度（角半径）q q q 如图 当a甚大于声波波长 或正如光学中的夫琅和费（Fraunhofer）圆孔衍射结果能量主要集中在主极大值（占总辐射能量的84%以上）1.3 辐射声强 由（8.4）式，质点径向振速 （8.6） （8.7）低频辐射时（），辐射声强 （8.8）低频辐射平均声功率 （8.9）2．近场声辐射特性 如图，半径为a，分成环带dr，环带在P点的声压 总声压 当， 代入上式化简得声压式 （8.10）活塞轴向声压振幅为 （8.11）声强 由式（8.11）， （8.12）当时，声压出现最后一个极大值当，声压出现强烈的干涉效应，声压起伏剧烈；而当时，声压将随距离单调地减弱所以，成为近远场临界距离1.00.50-0.5-1.00.51.01.52.0活塞辐射在近场出现的声压起伏特性在实际应用中应注意。
如测量扬声器电声性能时就不能离声源太近，一般应大于临界距离否则会因声压起伏引起测量结果的较大误差l 内容小结l 作业布置page106, 5.5, 5.6l 参考书目[1] 杜功焕, 《声学基础》[2] 何祚镛, 赵玉芳.《声学理论基础》。