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1、大学物理授课教案 第十二章 机械振动第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 第四篇 振动与波动 第十二章 机械振动 12-1简谐振动 1、弹簧振子运动 如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用 在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向 O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使m速率减小，直至物体静止于B，之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。 这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图1
2、2-1 2、简谐振动运动方程 由上分析知，m位移为x时，它受到弹性力为： F=-kx (12-1) 式中： 当x0即位移沿+x时，F沿-x，即F0当x0 k为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x反向。 定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，m加速度为 a=Fkx=-mm d2xkd2xa=2+x=02mdt dt k=w2k、m均大于0，可令 m 可有： 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 d2x+w2x=02dt (12-2) 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 x=Asin
3、(wt+j) (12-3) 或 x=Acos(wt+j) (12-4) pj=j-2 式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。 3、谐振动的速度和加速度 d2xa=2=-w2Acos(wt+j)=-w2xdt加速度： (12-6) Vmax=wA 可知：2amax=wA x-t 、V-t、a-t曲线如下 物体位移：x=Acos(wt+j) dxV=-wAsin(wt+j)dt速度： (12-5) 图12-2 图12-3 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 说明：F=-kx是谐振动的动力
4、学特征； 2a=-wx是谐振动的运动学特征； 做谐振动的物体通常称为谐振子。 12-2 谐振动的振幅 角频率 位相 上节我们得出了谐振动的运动方程x=Acos(wt+j)，现在来说明式中各量意义。 1、振幅 做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做A。A反映了振动的强弱。 2、角频率 为了定义角频率。首先定义周期和频率。 物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示； 在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用v表示。 11T=T 或 v 由上可知：T为周期，x=Acos(wt+j)=Acosw(t+T)+j v=从t时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来t时刻状
5、态，wT=2p 2p=2pv T 可见：w表示在2p秒内物体所做的完全振动次数，w称为角频率 kw=m w=mwk w1kv=2p2pm 对于给定的弹簧振子，m、k都是一定的，所以T、v完全由弹簧振子本身的性质T=2p2p所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。 3、位相 在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当A、第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 w给定后，物体的位置和速度取决于(wt+j)，(wt+j)称为位相。 由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。j是t=0时的位相，称为初相。 4、A、j的确定 对于给定的系统，
6、w已知，初始条件给定后可求出A、j。 初始条件：t=0时 x=x0 由x、v表达式有 v=v0 xA0=cosjvwAsin 0=-j 即 x0=Acosj -v0w=Asinj tgj=-n0wx即 0j=arctg-v0wx0 A=x2+v200w2 j值所在象限： 1）x00，v00：j在第象限 2）x00，v00：j在第象限 3）x00：j在第象限 4）x00，v00：j在第象限 5、两个谐振动物体在同一时刻位相差 设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4 x1=A1cos(w1t+j1) x2=A2cos(w2t+j2) 任意t时刻二者位相差为 Dj=(w2t+j2)-(w1t+j1
7、)=(w2-w1)t+(j2-j1) 0：2的位相比1超前 =0：2、1同位相 0v0=0j=0， x=0.10cos(2t)m x=0.10mv0=-0.20m/s2） 初始条件：t=0时，0， j=arctg=0.12m22 -v-0.20j=arctg0=arctg-=arctg1wx020.10 pj=x0v000 j=-p3 方法二用旋转矢量法求j 根据题意，有如左图所示结果 3 图12-9 px=0.12cospt-m3 px=0.12cospt-m3 j=-p第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 由上可见，方法二简单 方法一用数学式子求Dt pp(-0.06)=0.12cospt1-wt1-2p3 p24pt1-=pp 33 或 3 pv1=-Awsinpt1-03此时 2=p33 t1=1s 设t2时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置， pt1-pp0=0.12cospt2-3 有： pt2-p3=p3ppwt2-03 3=p32 11t2=s 6 115Dt=t2-t1=-1=s66 方法二用旋转矢量法求Dt pt2-pvt由题意知，有左图所示结果，M1为1时刻A v
