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1、正态分布教学设计与反思孙恒来1教学内容解析正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修3第二章频率分别直方图和第三章概率知识的后续。该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。课标教材利用高尔顿钉板试验引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来
2、源。本节课的教学重点确定为：（1） 正态分布密度曲线的特点和性质；（2） 正态分布密度曲线所表示的意义。2教学目标分析在上次教材改革中增加了正态分布，此次新课程标准中理科选修2-3仍然保留了正态分布的内容，只是在内容上作了一些调整，课本删除了标准正态分布和正态分布函数表，只要求利用对称性和“3”原则分析实际问题，从而考查难度有所降低，注重考查阅读理解能力。正态分布在概率和统计中占有重要的地位，如现今德国10马克的钞票印有高斯头像，其上还印有正态分布的密度曲线。这是给高斯的最高荣誉，同时传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是正态分布。正态分布是概率论中最重要的一种分
3、布，也是自然界最常见的一种分布。自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。正态分布还具有很多优良的性质，在数学、物理及工程控制、医学检测等领域有着广泛的应用。在大学的理工科基本上都要学习正态分布的相关内容，在高中新课标中仍保留了正态分布是很有必要的。因此，我们要提高认识。本节课作为新授课，加上正太密度曲线函数式很复杂，内容抽象，我力图通过flash动画模拟高尔顿钉板实验激发学生的兴趣，几何画板动态演示，小组合作探究，老师引导点拨，学生归纳总结，让学生对正态密度曲线的生成、性质有更直观的认知。结合课标要求，制定如下教学目标：(1)知识
4、目标：认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。会根据对称性进行简单正态分布的相关概率计算，并能解决一些简单的实际问题。（2）能力目标能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力。培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。（3）情感目标通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。3教学问题诊断分析 在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。正态分布有涉及到要用积分
5、的思想求曲面梯形面积的问题，高中阶段学生掌握的积分知识要求正态密度函数的定积分还是很困难的，学生想通过定积分来求，这里老师要做好引导。而且课标的要求只要求学生知道正态分布在的概率就是通过用定积分来求曲边梯形的面积，而中学阶段正态分布的题目主要是根据正态曲线的对称性、3原则及结合概率为1来设置的，则正态曲线的特点和性质既是重点也是难点。本节的教学难点确定为：（1） 在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布；（2） 正态分布密度曲线所表示的意义。4教学支持条件分析本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了flash动画模拟、几何画板动态演示的直
6、观教学法、学生分组讨论合作探究教学法。通过“观察探究再观察再探究”等思维途径完成整个教学过程。而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。5教学过程设计教学环节教学内容师生互动设计意图 以境激情通过对高尔顿板试验进行演示。教师创设情境，为导入新知做准备。学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。研探论证1用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律 将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出
7、频率分布表。 以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。 将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程。在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标是一个连续型随机变量。教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。通过把与新内容有关的
8、旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解。这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程。教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证2正态曲线：曲线中任意的一个均对应着唯一的一个值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像： ,其中是圆周率，是自然对数的底，实数和（0）为参数。我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。与分别反映的是均值与标准差。教师提出课题并板书：正态分布教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义。与旧教材不同的是，该处
9、在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源。3正态曲线对应的解析式中含有两个参数和。下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数和对曲线的影响： 固定的值，观察对图像的影响 学生研探新知，并进行推理论证。其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维。教师利用几何画板，先后固定参数和，通过变化参数和的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言。学生通过观察得到：当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；结合解析式分析知时它是个偶函数，于是参数决定了正态曲线的对称轴，时的图像可由时的图像平移得到。（教师板书：曲线是单峰的，它关于直线对称）同时得
10、到：曲线在时达到峰值（教师板书）。针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度。该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力。教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证 固定的值，观察对图像的影响 综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一定时，影响了曲线的形状。即：越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于轴上方，与轴不相交。
11、（教师板书）。最后引导学生由概率知识知：曲线与轴之间的面积为1（教师板书）。该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。这样的处理很好地突出了重点，突破了难点。这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫。4曲线与轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量落在对称轴两侧的概率都是。请思考：对于任意一个随机变量，如何求出落在给定区间内的概率？Oyx引导学生回忆得到：落在区间的概率的近似值其实就是在上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数在区间上的定积分。即：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原
12、有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解。教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证5 正态分布概念：一般地，如果对于任何实数，随机变量满足，则称的分布为正态分布，常记作。如果随机变量服从正态分布，则记作。教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。引导学生分析得到，所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识。同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。63原则几何画板演示3原则：引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数。根据现有知识，无法求原函数。得寻求别的方法
13、求概率。教师通过利用几何画板演示随机变量落在区间,与这三个区间内的概率，引入3原则的内容，并指出：在区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，简称原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。 (教师板书3原则的内容)学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”。新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难。教师利用几何画板，从数与形上体现了3原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。这为后面3原则的应
14、用作了铺垫。教学环节教学内容师生互动设计意图反馈矫正例题1 把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线，下列说法不正确的是（ ）A曲线仍然是正态曲线B曲线和的最高点的纵坐标相等C以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大2D以曲线为正态分布的总体的期望比以曲线为正态分布的总体的期望大2学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩。教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识。学生易分析知：正态曲线经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值（期望）有关。故C选项的说法不正确。通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解。例题2 某地区数学考试的成绩服从正态分布，其密度函数曲线如下图： 20 40 60 80 100yxO 写出的分布密度函数； 求成绩位于区间的概率
