《上海交大杜秀华老师现代控制理论线性系统的能控性和能观性4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海交大杜秀华老师现代控制理论线性系统的能控性和能观性4（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4时变系统的能控性和能观性一、能控性判据1、有关线性系统能控性的几点说明1)允许控制U(t),其元在时间t0,tf上绝对平方可积。2)能控状态和控制作用的关系式tfX(tf)=(D(tf,t0)X0+1(tf产)B(Du(Dch=0t0-1,tfX。-1(tf,t。)，(tf,)B()u()dt0tf一(t,)B()u()dt0tfX二-，(t0,)B()u()d(4.3.8)t03)非奇异变换不改变系统的能控性设系统在变换前是能控的，它必满足(4.3.8)tf即X0-t(t0,)B()u()dt0若取变换矩阵P,对X进行线性变换X-px则有A=p-1APB=p-1B即A=pApTB=PB
2、将上述关系式代入(4.3.8)式，有tfPX。=-(t。，)PB()u()dt0一tfiX。P/(t。，)PB()u()dt。tfX。1(t。，)B()u()dt。上式表明非奇异变换不改变系统的能控性4)如果X。是能控状态，则X。也是能控状态，口是任意非零实数。5)如果Xi和X02是能控状态，则Xi+X02也是能控状态。6)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为XcoX11。X11u例,_x2_01_x21解：系统的能控状态为X1=X2的状态，为两维状态空间中的一条45。斜线。2、线性连续时变系统的能控性判据1)【定
3、理】时变系统的状态方程为X(t);A(t)X(t)B(t)U(t)系统在t3tf上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵tfWc(t0,tf)=(t0,t)B(t)BT(t)T(t,t)dtt0为非奇异。证明：略例：试判断下列系统的能控性X10tX1I.i=L.HX200X2解：(i)首先求状态转移矩阵A(tJA(t2)=A(t2)A(tJd。2+.00(0,t);It0(2)计算能控性判别阵Wc(0,tf)Wc(0,tf)二tfTT一0(0,t)B(t)B(t)TT(0,t)dtWc(0,tf);tf10,01t2211t401t21dt=11,2_1f520f-册360dt1136tftf
4、(3)判别Wc(0,tf)是否为非奇异16detWc(Qtf)=20t613614516当tf0,detWc(0,tf)=-160所以系统在0,tf上是能控的2)【定理】(充分条件)设系统的状态方程为X(t)=A(t)X(t)B(t)U(t)A(t),B(t)的元对时间t分别是n2和n1次连续可微的M0(t)=B(t)记Mk(t)=-A(t)Mk(t)-Mk(t)k=1,2,.,n-1dt令Qc(t)=M(t)M(t)；Wn(t)如果存在某个时刻tfA0,使得在时间区间t0,tf上如有rankQc(t)=n则该系统在t0,tf上是状态完全能控的证明：略例：(上例)试判断下列系统的能控性x10t
5、xi0I.I=I11I+IIx200x21解:0M0(t)=B=|：1一M1(t)=-A(t)M(t)Mo(t)0t0-t=一II=忖0JL1JW0-1Qc(t)=M0(t)Mnr维能观测性矩阵nT_BiAiBiAiBi的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看由对偶原理的正确性。利用对偶原理可知，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：A=AT,B=CT,C=BT由对偶系统的定义可得由的结论：1、互为对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。2、互为对偶系统的特征方程是相同的。二、时变系统的对偶原理时变系统的对偶关系和定常系统的对偶关系稍有不同！时变系统1=Ai(t),Bi(t),Ci(t)和2=A2(t),B2(t),C2(t),若满足下列关系，则称和是互为对偶的。A2(t)一A:(t)B2(t)=C；(t)C2(t)=BT(t)根据上述定义，可以推导由互为对偶的两个系统的状态转移矩阵互为转置逆。T(10,t)=i(t,10)式中*1(t,10)为空的状态转移矩阵%(t,to)为巳的状态转移矩阵证明：利用定义对偶原理：当且仅当系统状态能观测(状态能控)时，系统才是状态能控(状态能观测)的证明：需利用*T(10,t)=*1(t,10)
