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1、复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院 数学与应用数学专业指导教师： xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题.1 孤立奇点的定义如果函数在点的某一去心邻域:解析,点是的奇点,则称为的一个孤立奇点.2 孤立奇点的判别方法设函数在区域D除有限个孤立奇点外处处解析，C是D包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么.一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆环域的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求
2、留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么.如果是本质奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求.若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.2.1 函数在极点处留数法则1：如果为的简单极点，则 法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且.法则3：如果为的m阶极点，则.2.2 函数在无穷远点留数 设为的一个孤立奇点，即在圆环域解析，则称 （） 为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果在的洛朗展开式为，则有.这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果在扩
3、充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在），设为，则在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则. .3 孤立奇点的应用例1 指出下列函数在零点z=0的级：（1） （2）.解（1）用求导数验证：记，不难计算 故为函数的四阶零点.由泰勒展式：由展开式 可知 其中解析，.故为函数的四阶零点.(2)由展开式可知 其中 在解析，.故是函数的15阶零点.例2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数在解析，则必有a的一个领域，使得在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立性）.分析 由于解析函数不恒为零且，所以利用在点a的泰勒展开式可知，总存在自然数，使，（否则独所
4、有m，由泰勒定理矛盾）.于是可设a为的m阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a为的m阶零点，其中解析，.因在a 处解析，则有，可取，存在着，当时，由三角不等式便知当时 即有，故在a的邻域使.例3 确定函数的孤立奇点的类型. 解 因为，所以 是分母的六阶零点，从而是函数的六阶极点.例4 判别函数的有限奇点的类型.解 因为在没有定义，更不解析，所以是的奇点，在，展开为洛朗级数：，有无穷多负幂项，故是的本性奇点.例5 考察函数在点的特性.解 因为是分母的零点，所以这些点是的极点.从而知是这些极点的极限点，不是孤立奇点.例6 求出函数的全部奇点，并确定其类型.解 分母有四个一阶零点，它们不是分
5、子的零因此是函数的一阶极点.又，所以是的可去奇点.例7 求出函数的全部奇点，并确定其类型. 解 容易求得是的一阶极点，这是因为.当，而 ， 所以，是函数的可去奇点，是的一阶极点. 又是极点当时的极限点，不是孤立奇点.例8求所有孤立奇点处的留数： 解：函数有孤立奇点0和，而且易知在有洛朗展开式 这既可以看成是函数在的去心邻域的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域的洛朗展开式.所以.参考文献:1 钟玉泉. 复变函数论，高等教育, 2003年.2 王玉玉. 复变函数习题全解， 中国时代经济,2008年.3 方企勤. 复变函数教程， 大学, 2009年.4 傅作梅. 复变函数的应用，高等教育,1996年.5 巧玲. 复变函数与积分变换， 机械工业,2002年.
