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1、 一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果是常数，那么叫做的一元二次函数. 其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。二、一元二次函数yaxbxca0的图象(其中a,b,c均为常数)1. 当a0时函数图象开口向上；对称轴为x2ab，有最小值且为4acb4a；当x,2ab时递减；当x2ab,时递增；2. 当a0时函数图象开口向下；对称轴为x2ab，有最大值且为4acb4a；当x,2ab时递增；当x2ab,时递减；2. b4ac当0时，函数图象与x轴有两个交点；当0时，函数图象与x轴只有一个交点；当0时，函数图象与x轴没有交点。(如以下图所示)三、抛物线中，的
2、作用(1) 决定开口方向与开口大小，这与中的完全一样.例1：画出的图象归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。(2)和共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。例3：画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴与顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到
3、抛物线？抛物线的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。归纳：一般地，抛物线与形状相同，位置不同。把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。抛物线有如下特点：（1） 当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下；（2） 对称轴是直线x=h；（3） 顶点坐标是（h，k）例4：画出的图象归纳：一般地，可以用配方法求抛物线的顶点与对称轴因此，抛物线的对称轴是，顶点坐标是.(2) 的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点; ,与
4、轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .（2）a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧 |x1-x2|= , 与y轴交点为(0,c) b2-4ac0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根 b2-4ac0，ax2+bx+c=0无实根 b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根 二 四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件1. 若xymm为x轴上的一点，则需满足：02abmf(m)02. 若mxym为x轴上的一点，则需满足：02abmf(m)03. 若xmym为x轴上的一点，则需满足：4. 若x,ym,n
5、m,n为x轴上的一点，则需满足：0m2abnf(m)0,f(n)05. 若mxnypm,n,p为x轴上的一点，则需满足：f(m)0f(n)0f(p)06. 若只有一根在m,n之间m，n为x轴上的一点，则需满足：0m2abn或f(m)f(n0f(m)0 或m2abnm2f(n)0 或 nm22abn五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()六、二次函数图像的变换规律：抛物线y=a(x-h)2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。y=ax2（a0）的图像.y=-a
6、x2（a0）的图像当h0时，向左平移个单位长度，当h0时，向右平移个单位长度y=a（x-h）2的图像当k0时，向上平移个单位长度当k0时，向下平移个单位长度y=a（x-h）2-k的图像写成一般形式y=ax2+bx+c的图像规律：在原有函数基础上“h值正右移，负左移，k值正上移，负下移”七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1) 轴与抛物线得交点为()(2) 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3) 抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与
7、轴相交； 有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.(4) 平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。(5) 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定： 程组有两组不同的解时与有两个交点; 程组只有一组解时与只有一个交点； 方程组无解时与没有交点.(6) 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为 由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：八、二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程就是
8、二次函数当函数y的值为0时的情况(2) 二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3) 当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根。例5：观察函数的图象与x轴的交点，得出一元二次方程的根。可以看出：（1） 抛物线与x轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x去公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程的根是-2,1.（2） 抛物线与
9、x轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数值是0.由此得出方程有两个相等的实数根3。（3） 抛物线与x轴没有公共点，可知，方程没有实根。归纳：一般地，从二次函数的图象可知，（1） 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标时，那么当与时方程的一个根。（2） 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点（），有一个公共点()，有两个公共点()。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根()，有两个不相等的实数根()。九、二次函数yax2+bx+c的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 /
