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1、word三角函数极值问题的探讨【摘要】极值是定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到 它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.极值是自然科学、工程技术以与生产活动、生活实践中常常遇到的问题,类型是多种多样的,其中三角函数的极值却占着重要的地位,因为它不但能解决三角函数的极值问题,而且许多其它函数极值问题通过变换往往可化为这一类型.本文仅就三角函数极值问题进展讨论.【关键字】三角函数;极值；解法目录摘要1引言2一、正弦或余弦的线性函数的极值.2二、正余弦线性函数的极值3三、正、余弦二次奇次函数的极值5四、正弦二次函数的极
2、值7五、某些特殊类型三角函数极值问题10完毕语12参考文献13引言三角函数极值问题是函数极值问题的一个重要局部，也是中学数学的重要内容之一.他在实际生活中具有广泛的应用.解答三角函数式极值问题，不仅用到三角函数的特性，如有界性，以与三角函数恒等变形等知识，而且与代数中的根本不等式，二次三项式的配方法、一元二次方程的判别式与有关几何知识严密联系.因此，解三角函数式的极值问题需灵活综合运用多方面的知识.下面就几种三角函数的极值问题进展讨论.一、正弦或余弦的线性函数的极值.根据正弦或余弦函数的有界性，有1. 当即时，此时；当即时，此时.2. 当即时，此时；当即时，此时.形如函,，的三角函数式都可以通
3、过恒等变形，转化为这种类型求解.特别型，通过构造分母的方法进展转化 这时问题转化为求的极值例 1、求函数的最大值和最小值.解 ： 当时，；当时，.说明：经过恒等变形，所求函数的极值取决于分母的极值，而得极值的求法属于第一类型.二、正余弦线性函数的极值.其中 根据正弦函数的有界性，可得当时，；当时，.其中例2、求函数，的最大值和最小值.解： 当时，；当或时，说明：通过和差化积将函数变形为然后利用余弦函数的有界性求出最大值.但在求最小值时，由于函数的解析式是偶次方，恒有，因此当时，函数得最小值零.例3、 在定圆内的所有内接等腰三角形中，怎样的三角形其底边和底边上的高之和为最大.解: 如图，设定圆的
4、半径为，其内接等腰的底边为,高为，并设，如此，,，底边与高之和为 当且仅当 时，此时可算出底边, 高 例 4、在单位圆内，扇形的顶角在内变动，是该扇形的内接正方形如图，试求的最小值.1993年某某省高中联赛题解：如图设,如此诸点坐标为，,，由此，得 其中 当 时，有 .三、正、余弦二次奇次函数的极值.因为 当 时， ；当 时， ；其中 .说明：函数， 这些类型的三角函数经变化，均可化为 的形式求解.例 5：求函数的最小值，并导出使函数取最小值的的集合.(1991年高考文理第三 (21)题)解： 利用三角函数的恒等变形，可得 其中当 时，例 6：求三角函数的最小值，其中为非零参数.解：把原式改写
5、成如下形式 因此 ，要求原三角函数的最小值，只需求出上式最后三项 取最小值时的值，并令即可求得 .说明 :在本例假如令 ，得 ，此时还可以算出参数之值.四、正弦二次函数的极值.令，如此正弦二次函数便转化为二次函数 在闭区间 上的极值问题.这个二次函数在开区间有最小值；当时，即时，且在区间减小，在区间增大，因此：1当即 时，函数 在闭区间 上单调递增，这时，当即 时，；当 即 时，.2当 即 时，函数 在闭区间 上有顶点，即当 时， ；此时，函数的最大值是 或 时，函数值中的较大者，即 .3当即 时，函数 在闭区间 即 时，；当 即 时，.其中1，2，3中的除上述三种根本类型外，正切、余切，正割
6、、余割的有理函数都可以通过万能置换公式转化为代数函数，从而可以利用代数方法求出极值.另外，对于正弦、余弦的二次奇次函数除用上述类型三中的方法外，也可以用下面的方法求出极值.化原式为：，移项，整理并以除之，得，由于为实数，故必有解次不等式，得，；.在解三角函数极值问题时，要注意在函数定义域内求解.此外，要灵活运用三角恒等变形的方法和技巧，并注意代数知识和方法在解决极值问题中的应用.例 7：函数的最大值为8，最小值为6，求，之值.解：令，如此原函数转化为闭区间上的二次函数. 对实参数进展讨论；当时，当 时，；当 时，.联立解得 ，与 矛盾.当时，当 时，；当 时，.由此解得 .当 时，类似2可解得
7、 ,当 时，与1一样，不可能 综上，适合题意的解为 或 .例 8： 设 是定义在上的奇函数，且在 上为减函数，问是否存在实数，使得 对所有的实数 都成立？假如存在，求出的取值X围；假如不存在，说明理由.解：为奇函数，又 在 上为减函数，由可得，即 .令 当 即 时， ， ， .当即时，.当 ，即 时， ，.综上， 时，对任意 均成立.例 9：求函数的最小值.解：又 ，.等号成立当且仅当，即 时成立，当时，.说明：本例题利用根本不等式.，求出了函数的最小值，但却求不出它的最大值.应用不等式求函数的极值时应引起注意.如果要求函数的最大值时，可采用变量代换的方法，令，如此，函数可化为，显然，当时，的
8、值最大.因此，时，即当时，值最大，其最大值为.当然也可以用上述方法求出函数的最小值.五 、某些特殊类型三角函数极值问题.有些三角函数极值问题，只需将三角函数式略加变形，经配方或利用根本不等式等知识就能使问题顺利得解，下举数例.例 10、过直角坐标第一象限内一点，作直线与的正半轴分别相交于和，问直线与轴所成锐角为何值时，直线与两坐标轴所围成的的面积为最小，并求此最小值解：如图，作轴，如此，上式经配方，得 当且仅当 时，有.例 11、如图，在一X半径为的圆桌的中央的上空挂一盏电灯，怎样选择灯的高度，才能使桌子边缘处最亮桌子边缘处的亮度与的正弦成正比，而和这一点到光源的距离的平方成反比.分析 设比例
9、系数为，如此桌子边缘上一点处的照度为.再把用来表示，此时照度便为的函数，从而归结为求三角函数式的极值.解：设桌子边缘一点处的照度为为常数. 当且仅当，即时，这时.故将灯挂在桌子正中央上方处时，桌子边缘亮度最大.例 13、设圆满足：1截轴所得的弦长为2；2被轴分成两段圆弧，其弧长比为，在满足条件1，2的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.1997年全国理科高考题解 : 设圆的圆心为 ，半径为 ，点到直线 的距离为.根据题意，可得 ，. 显然要求到达最小值，只要在约束条件 下，求 的最小值即可.为此，可用“数形结合法解题.令 ，如此 视 为点 与点 连线的斜率，而点为单位圆上的点， ，从而
10、解出 或 ，所求圆的方程为 或 .完毕语三角函数Trigonometric是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.它包含六种根本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具.而且三角函数的极值问题也是高考的命题之一，而且在很多的物理学中常常
11、要运用三角函数极值的原理来进展求解，因此学好三角函数的极值的求法是非常有用的，它不仅可以为我们的高考解决题目还可以解决我们实际问题，为我们的生活提供方便.参考文献1 段肃昌. 几类常见三角函数式极值的求法J. 数学教学研究 , 1995,(01)2 谭坤宁. 利用辅助角求三角函数极值例析J. 中学理科 , 1998,(08)3 蒋鹏敏. 求三角函数极值的方法J. 某某教育 , 1995,(10)4 王风. 三角函数的极值J. 某某教育学院学报 , 2001,(02)5 X恒. 三角函数极值问题探讨J. 中学数学月刊 , 2003,(09)6 黄星寿. 谈谈三角函数极值的求法J. 某某师X高等专科学校学报 , 1998,(02)7 杨梅. 有关三角函数式极值的求法J. 某某教育 , 1996,(04) /
