数学建模中的主成分分析法

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1、Science & Technology Vision科技视界橄探索卅数学建模中的主成分分析法The Principal Components Analysis of Mathematical Modeling刘佳(淄博职业学院,山东淄博255314)【摘要】本文通过介绍主成分分析法的恳本知识,使学生在短时间内了解在数学建樓中怎样利用主成分分析的思想、方法建立數学模住 作一个初步的援讨。【关键词】主成分分析;数据分析;累计贡献率AbstractBy introducing the basic knowledge? of th principal component analysis metho

2、dso that students in a short period of time to to understand the use of thought, the method of principal component analysis to establish the mathematical model for a preliminary discussion of how in mathematical modeling.Key wordsPrncipal components analysis;Data analysis;The cumulative contribution

3、 raleScience & Technology Vision科技视界橄探索卅Science & Technology Vision科技视界橄探索卅全国人学生数学建模竞赛已经成为许多高枝学生课外科技活动 的通:要项目人们也越来越关注数学建模竞赛。数学规划、徹分方程、 图论等足较为常见的建模方法。而近年来,越来越多的数据处理题目 出现在数学建模竞赛当中,数据处理的任务足降低数据的维数保留 数据的有用信息C主成分分析法作为一种主要的数据处理方法,能够 提取变就信息,减少分析的维度,使问题变得更简单、宜观(因此,尽快 掌握主成分分析法的基本知识,显得尤为迫切。下面介绍主成分分析 法的基木知识利用主

4、成分分析法的思想方法建立数学模型。1主成分分析的基本思想和数学模型1.1主成分分析简介主成分这个概念由黄国统计学家Karl Pearaon在1901年提出,当 时只是进行了非随机变駅的讨论,是从多指标分析出发,运用统计分 析原理与方法提取少数几个彼此不想关的综合性指标而保持貝原指 标所提供的人筑信息的一种统计方法。1933年HoTling则将此概念推广到了随机变fit中。主成分分析 的原理,是以较少数的综合变訖取代原冇的多维变使数据结构简 化把原指标综合成较少几个主成分,再以这几个主成分的贡献率为 权数进行加权平均构造出一个综合评价瓯数.作为一种多指标分析 方法在综合评价函数中各主成分的权术为

5、其贡献率,它反映了该主 成分包含原数据的信息屋占全部信息最的比重,这样确定权术是客 观、合理的它克服了某哇评价方法中人为确定权术的缺陷这种方法 的计算比较规范便于在计算机上实现。1.2主成分分析卑本思想在许多实际问軀中,为了全面系统的反应问题我们通帶用多个 变ill来刻画某一半物但由于这些变赧间具有较强的相关关系变址 间存在大51的贡复信总,宜接用它们分析问题时往往会引起极大的 误垦。因此人们希塑用校少的新指标代替原来较多的IH变量同时耍 求这些新指标尽可能的反应原来的信息綱一般来说,主成分与原始变址之间的关系:(1) 各主成分都是原始变fit的线性组合。(2) 主成分的个数远小于原始变址的个

6、数。(3) 各主成分之可互不相关。(4) 主成分保留了原始变啟的绝大部分信息。13主成分分析的模和假设有a个样本,有p个观测指标(pn),得到原始数据矩阵X= (儿其相关系数矩阵为数学上通常的做法是将原来p 个指标做线性组合.作为新的综合指标记这些新的综合指标为Z 盒久 竄经典的方法就是用方差来农示。ZiZz这些新指标 之间互不相关且方差递滅。因此计算相关系数矩阵的特征值为入&入2亠入”向最/丿, 仏为相应的单位待征向虽,则第i个主成分为W (=L2/-p)一般是按累计贡獻笊的大小取前*个,多数情况下前几个主成分 已代衣了原来描标的大部分信息2主成分分析法的计算步骤主成分分析法做多指标评价的基

7、本步骤如下:(1 )对原来於p个折标进项标准化“穿。匸1.2护;(其中/为样本个数,p为原始指标的 个数/为原始指标样本值*为样本标准差。)(2) 根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵R。(3) 求出相关系数矩阵R的待征根入和特征向册2以及贡献率a/Sa.(4确定主成分人,;(5) 计算综合评价值PFfA=(A, / X入(入2 / Z入)*+(儿/工入 alal3利用Spss进行主成分分析的实例在进行多指标评价时.由于要求评价结果客观、全面,就需要从各 个方面用多个捋标进行测S但这样就使得观测指标间存在信息蚕 *,同时还会存薩纲、須加时如何确定权垂系数铮问題:为此,就可 以使用主成分分析法

8、进行佰息的浓缩,并解决权重的确定问题本文 以全国各市城績单位就业人员丁 资水平这一问题来说明主成分评价 的用法。这里引用的是2012年山东省各市按行业分城镇单位就业人员平 均工资这-数据,希望对各地市工资水平给岀分析与评价数据源白 山东省统计年擊2013版九在Spss软件中打开文件之后操作步驟如下:(1) 选择-分析” j*降维”因子分析选项。(2) 依次选中变最并点向右的箭头按扭。(3) 在“描述对话筮中选中“相关系数”选项组组中的“系数员 选框。(4) 在“抽取对话框中选中因子固定数1R”输入数字5。(5) 在“得分对话框中选中“显示因子得分系数矩阵“。(6) 单击“确定”按钮。得到输出结果表爲1公因子方差初始提取农林牧渔1.000.838采矿业1.000.842制适业1.000.796电力燃气及水的生产供应藪1.000.834建筑业1.000.830批发和零您业1.000.890Science & Technology Vision科技视界橄探索卅Science & Technology Vision科技视界橄探索卅作者简介:刘佳(I於6).女,山东淄博人,从亨高寻敛举敘学、數学建樓竟赛押导等工作。223Science & Technology Vision 科技觇界

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