《2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试11月数学理试卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试11月数学理试卷及答案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学生标准学术能力诊断性测试2017席a1惭局测试数学理科试卷第I卷(选择题)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 .已知集合M =x| y =ln (3+2xx2 9,集合N=y|y=4xN,则图中阴影部分表示的集合为在x轴上的A. -1,0 U3,二 B.10,31 . 0,3D.-1,0 1 3,二22. 一x y2 .已知命题 p：若k8,则万程 +=1表本焦点35 -k k -8双曲线；命题q ：在&ABC中，若sin A sin B,则A 2),则数列2nI2的前n项和为A. 1 一人俯视同J anan 1
2、I11c. - 1 -22n2x8.已知双曲线 a2=1 (a 0 )的左、右顶点分别为 A,A2 ,虚轴的两个端点分别为 BB2,若四边形 54AB1A2B2的内切圆的面积为18n，则双曲线的离心率为A. .2B. 3C.2 D. , 59.已知函数1 一 一，+ 11-2的展开式中|x|.1 3 If (x ) = 3sin x +-x在x=0处的切线与直线 nx y6 = 0平行，则 x 6I的常数项为A. -20B. 20C. -15D. 1510.将函数my*sin2x+J3cos2x+1的图象向左平移7T个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12坐标不变，得到函数 y = g(x)
3、的图象，则下面关于函数 y = g(x )的叙述不正确的是A.函数g (x)的周期为一S 人，、 f 式 c B.函数g(x)的一个对称中心为.一0 |C.函数g(x/区间1i-,- 内单调递增一4 21 2 1x +-x和g(x) = 2x6图象上的点,Xi之1, x2之1,若直线MN x轴，则M ,N两点间距离的最小值为A. 5b.944C. 5D.922, 二 k 二. .一一 .一.，D.当x =1 + -(k w z )时，函数g(x取小值-111 .已知定义在R上的函数f (x)满足f (x) = 4 f (x + 2 ), g(x) = sin(nx)+2 ,若函数f(x)的图象
4、与n函数g(x )图象的交点为 以， Mx2, y2 );，(*卜则B+yi )=i 1A. n B. 2n C. 3n D. 4n12 .设点 M (x1, f (x1 ),N (x2,g (x2 )户别是函数 f (x)=ln二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13 .已知a,b的夹角为三，且b = J5a ,则2ba与a的夹角的正切值为 4X y 三 422i.x 5xy y ,14 .已知变量x, y满足x + y23 ，则匕上 的取值范围为 xyx -1, y - 115 .已知正四面体 ABCD的棱长为，四个顶点都在球心。的球面上，点 P为棱BC的中点，过P作球。的
5、截面，则截面面积的最小值为 .216 .过抛物线X =4y的焦点F作直线l与抛物线交于 A,B两点，记抛物线在 A,B两点处的切线l1,l2的交点为P,则AABP面积的最小值为 /.J三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.朝中明汕自期.丽物甲明芯L1明泊支Ml g 17 .（本题满分12分）已知MBC的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 R(sin2 A -sin2 C ) = (V3a -b )sin B.,(1)求角C;22(2)若= sin A (sin B -sin C ) ,a = 4 ,求 c及 A
6、ABC 的面积18 .（本题满分12分）如图，多面体 A PCBE中，四边形PCBE是直角梯形，且 PC _L BC,PE/BC,平面PCBE _L平面ABC, AC _L BE,M是AE的中点，N是PA上的点.（1）若MN 平面ABC ,求证：N是PA中点；4 1 _（2）若 PE = BC ,且 AC =BC =PC ,求二面角 E-AB-C 的 3余弦值.19 .（本题满分12分）某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。广告费支出Xi和销售量yi （万台）的数据如下：年份2011201220132014201520162017广告费支出
7、1246111319精售量1.93.24.04-45.25.35, 4的麓1(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；依(2)若用y = c + dJX模型合y与x的关系可得回归方程 ？ = 1.63+ 0.99仅，经计算线性回归模型22及该模型的R分别为0.75和0.88,请用R说明选择哪个回归模拟模型更好。(3)已知利润z与x, y的关系为z = 200y-x,根据(2)的结果回答下列问题:广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到 0.01)禹之茗,力工-山r)参考公式：b=为某j-痴 Ml参考数据；石= 2.24
8、20 .(本题满分12分)已知圆B:(x+J2： +y2 =16,定点A(J5,0 ), P是圆周上任意一点，线段 AP的垂直平分线与 BP 交于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)直线l过点A且与x轴不重合，直线l交曲线C于M,N两点，过A且与l垂直的直线与圆 B交于 D,E两点，求四边形 MDNE面积的取值范围.21 .(本题满分12分)12已知函数 f x =ln-ax x. x(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f(x而定义域内有两个极值点X,%,求证：f (x1 )+f (x2)A3 2ln 2.2B铅请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给
9、分；作答时，请用w-.ru e 盛飞 in g. core冶即 m g. core笔将答题卡上相应的题号涂黑。22 .(本题满分10分)选修4-4:参数方程与极坐标系工x = 、3t在平面直角坐标系 xoy中，直线l的参数万程为4(t为参数)，以坐标原点 。为极点，x轴的y =3 t正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 P2 co/e + 2P2sin2 8 =3.(1)求曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为45二的直线，交l于点A,求PA的最大值与最小值23 .(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数 f (x )= 2x-1 一 x
10、+2.(1)若存在x w R使得f (% )+2a2 4a的解集为，求实数 a的取值范围；(2)在(1)的条件下，记a的最大值为a0,若口十3+2 = a0,则当a,b,c取何值时，a2+4b2+9c2 a b c取得最小值，并求出该最小值 .中学生标准学术能力诊断性潸试理科数学科目考答案三、解答题15、6/r：16、4：17、【解析】2/?卜2彳一力2。）=（岛-6kh 4,两边同乘以27? m（2/?sin J）2 -（2/?sin C）2 =（V5a-/）2/?sin B+1 分则由正弦定理.得。2。2=（屈一人,即。？+力2-。2=怎+3分，由余弦定理.得 cosC =a2 +h2 -
11、c2 _ Cab _ V5-lab -= 2ab =E+5分V 0 c = 16(/c)2 由(1)知/-c2 =4石力一 16 h =联立解,得，15 + 8/-4-17+11分c 1 . . /r , 15+8 石八 S =-aAsn - =b = +12分26418、【解析】3: PE BC . PE（z 平面/8C, 8Cu 平面平面/8C*1分 力平面45C,4w平面工平面45。八平面尸=/且力/V PEu 平面 PEA：.PE/l+3 分 MV平面45C工同理.MN/1：.MN / PE）5 分 ； M是4E中点由平面几何知识得,N是PA中煎地分平面PC8EJ_平面48C,平面PC5ED平面= PCLBC，尸Cl平面/3d 则;在梯形PCBE中,PE/ BC ：. PC与8七相交V AC工 BE；4CL平面 PCBEV 5C u平面 PCBE ：. ACL BC，C4C8.CP两两垂直+8分则以C为原点,C4C8,。所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间宜角坐标系.设8C = %,则E（0M，3a） /1（3以0.0）, 5（0301 C（OAO）,P（0.03a）:.EA =（3a,-q-3aEB =（02。,一%）
