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1、-初中数学九大几何模型一、手拉手模型-旋转型全等D 1等边三角形OOCDEECAB图1AB图2【条件】：OAB和OCD均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE平分AEDD2等腰直角三角形DOOCEECAB图1AB图2【条件】：OAB和OCD均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE平分AEDD 3顶角相等的两任意等腰三角形OOC【条件】：OAB和OCD均为等腰三角形；DE且COD=AOBE【结论】：OACOBD；CAEB=AOB；OE平分AEDABAB图1图2-OO二、模型二：手拉手模型-旋转型相似1一般情况D【条件】：CDAB，CDEC将OCD旋转至右图
2、的位置ABABD 【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长AC交BD于点E，必有BEC=BOAOOC2特殊情况【条件】：CDABAOB=90，CDE将OCD旋转至右图的位置ABAB【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长AC交BD于点E，必有BEC=BOA；BDACODOCOBOAtan OCD；BDAC；1 2连接AD、BC，必有222BCABCDAD；SACBDBCD2AC三、模型三、对角互补模型D 1全等型-90【条件】：AOB=DCE=90；OC平分AOBOEB1【结论】：CD=CE；OD+OE=2OC；2SSSDCEOCOCDOCE2A证明提示：CM作垂直，如图2，证明C
3、DMCEND图1过点C作CFOC，如图3，证明ODCFECONEB 当DCE的一边交AO的延长线于D时如图4：图2A 以上三个结论：CD=CE；OE-OD=2OC；1SOCESOCOCD22ACMCDOBNEOEFB图3D图4-2全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；OC平分AOB3【结论】：CD=CE；OD+OE=O；C2SDCESSOCOCDOCE4证明提示：可参考“全等型-90证法一；如右下列图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明OCF为等边三角形。AACCFFOBEOBEF3全等型-任意角【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=C；E【结论】：OC平分AOB；OD
4、+OE=2OCcos；SSSOC2sincosDCEOCDOCE当DCE的一边交AO的延长线于D时如右下列图：原结论变成：；。可参考上述第种方法进展证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AC DAOEBCOBED-对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；A初始条件“角平分线与“两边相等的区别；注意OC平分AOB时，CCDE=CED=COA=COB如何引导？DEOB四、模型四：角含半角模型901角含半角模型90-1【条件】：正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE；CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：正方
5、形ABCD；EF=DF+BE；DD A【结论】：EAF=45；AFFBCEGBCE2角含半角模型90-2【条件】：正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；AAADDDCCCEEBBEBFFF-3角含半角模型90-3【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】：2CEDE22BD如图1假设DAE旋转到ABC外部时，结论BD2CE2DE2仍然成立如图2AAFBDECBDECFAABCDEBCDEADAD4角含半角模型90变形HH 【条件】：正方形ABCD；EAF=45；FF【结论】：AHE为等腰直角三角形；GG 证明：连接AC方法不唯一DAC=EAF=45，BCEBCEDAH=C
6、AE，又ACB=ADB=45；DAHCAE，DAAHACAEAHEADC，AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型ADAD1倍长中线类模型-1FF【条件】：矩形ABCD；BD=BE；DF=EF；BCEHBEH-【结论】：AFCF模型提取：有平行线ADBE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8字全等ADFHEF。2倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形ABCD；BC=2AB；AM=D；MCEAB；【结论】：EMD=3MEA辅助线：有平行ABCD，有中点AM=D，M延长EM，构造AMEDMF，连接CM构造等腰EMC，等腰MCF。通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化FAAMMD
7、DEEBCBC模型六：相似三角形360旋转模型1相似三角形等腰直角360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明BDG为等腰直角三角形；C突破点：ABDCBG；C难点：证明BAO=BCGGFFDDABABE2相似三角形等腰直角360旋转模型-补全法C【条件】：ADE、ABC均为等腰直角三角形；EF=CF；CG 【结论】：DF=BF；DFBFF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；DF 辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。ADBABEEH-3任意相似直角三角形36
8、0旋转模型-补全法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全OGB、OCH构造旋转模H 型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化AED。OGODDAABBEECC4任意相似直角三角形360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长DE至M，使ME=D，E将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在O证明ABM
9、=AODODADABECBEC模型七：最短路程模型M1最短路程模型一将军饮马类A总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，B最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；PA+PBlPB-特点：动点在直线上；起点，终点固定Al1AAAPABBAPl1QPA+PQ+BQBl2PQPA+PQ+BQBlQPA+PQ+BQBl22最短路程模型二点到直线类1【条件】：OC平分AOB；M为OB上一定点；P为OC上一动点；Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化PQ=PQ，过点M作MHOA，A 那么MP+PQ=MP+PQMH(垂线段最短AHQPPOQMB
10、3最短路程模型二点到直线类2【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n5【问题】：n为何值时，PAPB最小？5求解方法：x轴上取C(2,0),使sinOAC=55；过B作BDAC，交y轴于点E，即为1所求；tanEBO=tanOAC=2，即E0，1yyAAPPDEBBOxOCx-4最短路程模型三旋转类最值模型【条件】：线段OA=4，OB=2；OB绕点O在平面内360旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如下图，将问题转化为B “三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。最大值：OA+O；B最小值：OA-OBA最小值位置最大值位置O【
11、条件】：线段OA=4，OB=2；以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；点P是两圆所组成圆环内部含边界一点；【结论】：假设PA的最大值为10，那么OC= 6；假设PA的最小值为1，那么OC=3；假设PA的最小值为2，那么PC的取值X围是0PC2BCAOP【条件】：RtOBC，OBC=30；OC=2；OA=1；点P为BC上动点可与端点重合；OBC绕点O旋转1【结论】：PA最大值为OA+OB1=23；PA的最小值为OBOA312如下列图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。CPCPAOBAOB-模型八：二倍角模型【条件】：在ABC中，B=2C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A，连接AA、BA、CA、那么BA=AA=CA(注意这个结论此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。AAABCBCAAED模型九：相似三角形模型ADEDE 1相似三角形模型-根本型平行类：DEBC；BCBCBCA字型8字型A字型结论：ADABAEACDEBC
