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1、西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。解:2. 给定信号: (1)画出序列的波形,标上各序列的值;(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列;(3)令,试画出波形;(4)令,试画出波形;(5)令,试画出波形。解:(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。(2)(3)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。(4)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。(5)画时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,波形如题2解图(四)所示。3. 判断下面的
2、序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。(1),A是常数;(2)。解:(1),这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14;(2),这是无理数,因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述,与分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。(1);(3),为整常数;(5);(7)。解:(1)令:输入为,输出为故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。(3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。令输入为,输出为,因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。(5) 令:输入为,输出为,因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。(7) 令:输入
3、为,输出为,因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1);(3);(5)。解:(1)只要,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果,则,因此系统是稳定系统。(3)如果,因此系统是稳定的。系统是非因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果,则,因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示,要求画出输出输出的波形。解:解法(1):采用图解法图解法的过程如题7解图所示。解法(2):采用解析法。按
4、照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:因为 所以 将x(n)的表达式代入上式,得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况,分别求出输出。(1);(2);(3)。解:(1) 先确定求和域,由和确定对于m的非零区间如下:根据非零区间,将n分成四种情况求解:最后结果为y(n)的波形如题8解图(一)所示。(2)y(n)的波形如题8解图(二)所示.(3)y(n)对于m的非零区间为。最后写成统一表达式:11. 设系统由下面差分方程描述:;设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。解:令:归纳起来,结果为12. 有一连续信号式中,(1)求出的周期。(2)用采样间隔对进行采样,试
5、写出采样信号的表达式。(3)画出对应的时域离散信号(序列) 的波形,并求出的周期。第二章教材第二章习题解答1. 设和分别是和的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换:(1);(2);(3);(4)。解:(1)令,则(2)(3)令,则(4) 证明: 令k=n-m,则2. 已知求的傅里叶反变换。解: 3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列,试证明输入的稳态响应为。解:假设输入信号,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。上式中是w的偶函数,相位函数是w的
6、奇函数,4. 设将以4为周期进行周期延拓,形成周期序列,画出和的波形,求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解:画出x(n)和的波形如题4解图所示。,以4为周期,或者,以4为周期5. 设如图所示的序列的FT用表示,不直接求出,完成下列运算:(1);(2);(5)解:(1)(2)(5)6. 试求如下序列的傅里叶变换:(2);(3)解:(2)(3) 7. 设:(1)是实偶函数,(2)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,的傅里叶变换性质。解:令 (1)x(n)是实、偶函数,两边取共轭,得到因此上式说明x(n)是实序列,具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么因此该式说
7、明是实函数,且是w的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换是实、偶函数。(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出,由于x(n)是实序列,具有共轭对称性质,即由于x(n)是奇函数,上式中是奇函数,那么因此这说明是纯虚数,且是w的奇函数。10. 若序列是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: 求序列及其傅里叶变换。解:12. 设系统的单位取样响应,输入序列为,完成下面各题:(1)求出系统输出序列;(2)分别求出、和的傅里叶变换。解:(1)(2)13. 已知,式中,以采样频率对进行采样,得到采样信号和时域离散信号,试完成下面各题:(1)写出的傅里叶变换表示式;(2)写出和的表达式;(
8、3)分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。解:(1)上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数函数,它的傅里叶变换可以表示成:(2) (3)式中式中上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的Z变换及收敛域:(2);(3);(6) 解:(2) (3)(6)16. 已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解:有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:三种收敛域对应三种不同的原序列。(1)当收敛域时,令,因为c内无极点,x(n)=0;,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆
9、外极点有,那么(2)当收敛域时,C内有极点0.5;,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外极点只有一个,即2,最后得到(3)当收敛域时,C内有极点0.5,2;n0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此x(n)=0。或者这样分析,C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外无极点,所以x(n)=0。最后得到17. 已知,分别求:(1)的Z变换;(2)的Z变换;(3)的z变换。解:(1)(2)(3)18. 已知,分别求:(1)收敛域对应的原序列;(2)收敛域对应的原序列。解:(1)当收敛域时,内有极点0.5,,c内有极点0.5,0,但0是一个n
10、阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, ,最后得到(2(当收敛域时,c内有极点0.5,2, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为,试:(1)用卷积法求网络输出;(2)用ZT法求网络输出。解:(1)用卷积法求,,,最后得到(2)用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统,,,最后得到28. 若序列是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:求序列及其傅里叶变换。解:求上式IZT,得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列,必定是双边序列,收敛域取:。时,c内有极点,n=0时,c内有极点,0,所
11、以又因为所以3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为(2);(4);(6);(8);(10)。解:(2)(4)(6)(8)解法1 直接计算解法2 由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(10)解法1上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解X(k)。因为 所以 等式两边进行DFT得到故 当时,可直接计算得出X(0)这样,X(k)可写成如下形式:解法2 时,时,所以,即2. 已知下列,求(1);(2)解:(1)(2)3. 长度为N=10的两个有限长序列 作图表示、和。解:、和分别如题3解图(a)、(b)、(c
12、)所示。14. 两个有限长序列和的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上,为什么?解:如前所示,记,而。长度为27,长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上,才满足所以15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率,信号最高频率为1kHZ,试确定以下各参数:(1)最小记录时间;(2)最大取样间隔;(3)最少采样点数;(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。解:(1)已知(2)(3)(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变,应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)18. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点),但相邻两段必须重叠V个点,然后计算各段与的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列,m表示第m段计算输出。最后,从中取出个,使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。(1)求V;(2)求B;(3)确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解:为了便于叙述,规定循环卷积的输出序列的序列标号为0,1,2,,127。先以与各段输入的线性卷积考虑,中,第0点到48点(共49个点)不正确,不能作为滤波输出