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1、圆周运动复习专题一）基础提要：1. 匀速圆周运动的基本概念和公式s2兀r（1）线速度大小v二-二，方向沿圆周的切线方向，时刻变化;tT2兀一角速度2： - t，恒定不变量;3)周期与频率T=m v2v 2（4） 向心力F = mro 2，总指向圆心，时刻变化，向心加速度a = = rw 2，rr方向与向心力相同；2兀r小（5）线速度与角速度的关系为v = w厂，v、w、T、/的关系为v 丁 Wr 2f。 所以在w、T、f中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而V还和r有关。2. 质点做匀速圆周运动的条件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心
2、力）与 速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。3. 向心力有关说明向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只 要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力 就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外 力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变 所以向心力不一定是物体所受的合外力。（二）解决圆周运动问题的步骤:1. 确定研究对象；2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；4. 根据向心力公式，列牛
3、顿第二定律方程求解。基本规律：径向合外力提供向心力F =F 合向（三）常见问题及处理要点:1. 皮带传动问题例1：如图 1 所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为 r， a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r,小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c 点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等d图1解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C； c点、b点在同一轮轴上角速度相 等，半径不同，由v 厂，b点与
4、c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样 可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为v，则a点向心加速度a = ，由 v 2r ， v 4r，所以v 2v 2v，故a a ， D 正确。a rcdd c aa d本题正确答案 C、 D。 点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大 小相等，同一轮上各点的角速度相同。2. 水平面内的圆周运动 转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情 况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离
5、为r时，连 接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压rO图2解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为 0，则u,g pmg m3 2 r，解得/ 00 l rU,g因为叮炫3，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则2 2r0细绳将对物体施加拉力Ft2,由牛顿第二定律得Ft 2 +咖-m3 ；厂，解得Ft2Umg点评：当转盘转动角速度3 mg，即v gR，R否则不能通过最高点；mv 2I(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有mg - F = mg , v y：gR时物体受到的弹力必然是向下 的；当v 丫 gR时物体受
6、到的弹力必然是向上的；当v =、；gR时物体受到的弹力恰好为零。 b.当弹力大小F mg时，向心力只有一 解F + mg ；当弹力F二mg时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。结合牛顿定律的题型例3：如图5所示，杆长为l,球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴1O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F二2mg，求这时小 球的瞬时速度大小。图5解析：小球所需向心力向下，本题中F二2mg mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。(1)若F向上,则 mg - F =mv2(2)若F向下,则 mg + F =mv2点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点
7、的即时 速度。需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动 过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。结合能量的题型例4： 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R (比细管的半径大得 多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B,质量分别为m、m，沿环形管12顺时针运动，经过最低点的速度都是v，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若0要此时作用于细管的合力为零，那么m、m、R和v应满足的关系是。1 2 0解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。m v2对于A球有Fni - mig *m v2对于B球有Fn 2 +m
8、2g = -Rr根据机械能守恒定律2 m2 v 0 =2R由环的平衡条件F -F =0N 2N 1而F =-F，F =-FN1N1N 2N 2由以上各式解得(m + 5m )gR + (m - m )v2 = 01 2 1 2 0点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析， 运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。连接问题的题型例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，0 点是一光滑水平轴，已知AO二1，OB = 21，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球 转到0点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
9、i。1 1解析：对a、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得mg21 - mgl二2mvA+ 2vv因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即二-2|m v2 设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为F，由牛顿第二定律得F -mg = BT T2l解以上各式得F = l$mg，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于l8mg, 方向竖直向下。说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题 的共同点。（四）难点问题选讲:1. 极值问题例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为M = 0.6kg的物体A静止在水平转盘上, 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔0吊着质量为
10、m二0.3kg的小球B，A的重心到0点 的距离为0.2m。若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff二2N，为使小球B保持静止，求转 盘绕中心0旋转的角速度的取值范围。（取g = 10m/s2）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止一一具有与转盘相同的角速度。A需要的 向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O； 角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。对于B： F = mgT对于 A： F + F = M心2， F F = M心2T f 1 T f 2联立解得 = 6.5rad / s， w = 2.9rad / s12所以 2.9rad / s w 2兀R），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？图9m，解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的 速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m,则轨道上的那部分车的质量 2兀Rm 为由机械能守恒定律得2mv行2mv2 +色RYgR4兀 gR 2由圆周运动规律可知，列车的最小速率V = PgR，联立解得v0 = IgR +53. 数理问题例8：如图10,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B,相距l = 0.1m，长l = 1m的
