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1、第4章 共轭空间 纯数学使我们可以发现概念和联系这些概念的规律, 这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙.A. Einstein (爱因斯坦) (1879-1955,美国物理学家) 在1929年引进了空间的共轭空间这一概念,这个思想在1927年也引进过,但的工作更完全些,共轭空间就是已知赋范的空间上的全体线性持续泛函所构成的线性空间,它在范数下是空间.对于具体的赋范线性空间,弄清这些赋范空间上的线性持续泛函的一般形式是非常有用的.此外,赋范空间的性质与它的共轭空间的性质有着密切的联系,因此可以通过共轭空间的性质来研究赋范空间的性质.4.1 共轭空间由定理可知,对赋范线性空间,若,则,此外,对
2、于任意赋范空间,的共轭空间一定是完备的.定理 4.1.1 当且仅当有,使得,对任意成立. 且此时有. 证明 若存在,使得 , 对任意 成立.则是上的线性泛函,且因此是上的线性持续泛函,即. 反之,若为上的线性持续泛函,则对,有这里,.设,对任意成立,由可知取,可知,且. 因此因此由上面定理可以看出与是几乎同样,为了刻画这样的“同样”关系,下面引进保范同构的概念.定义4.1.1 设和都是赋范空间,若是到的线性算子,是双射,并且对于任意,有,则称是到的保范同构,亦称与是保范同构的.明显地,若与是保范同构的,则和具有几乎同样的性质,因而可将与当作是一致的.由上面定理的证明可以看出,若定义到的线性算子
3、为,则是到的保范同构,因此可以把上面定理写成的形式. 定理4.1.2 当且仅当存在,使得对所有成立,且此时,有. 证明 若,则对,有对任意 成立. 令,则,对任意成立.由可知,对于有,且因此,故,即. 反之,若存在,使得对任意成立,则是的线性泛函,且因此,且,因此.由上面定理可知 ,类似地,不难证明下面定理成立.定理 4.1.3 . 定理4.1.4 对于,有,这里. 对于的共轭空间,同样可以考虑它的共轭空间,称为的二次共轭空间,记为,由上面讨论可知.对于,有. 赋范空间的性质与它的共轭空间的性质有着密切的联系,如若是严格凸的,则对于的任一子空间上线性持续泛函,它在上只有唯一的保范延拓.运用共轭
4、空间的性质,还可以弄清本来的赋范线性空间的性质,如的可分性等.定理4.1.5 设是赋范空间,若是可分的,则也是可分的. 证明 由于是可分的,因此存在,使得,令, 则.由可知,对,存在,使得.令为生成的闭子空间,则是可分的,且一定有. 事实上,如果,则由定理可知存在,使得故但这与矛盾,从而,因此是可分的.4.2 自反Banach空间对于赋范空间,可以讨论的共轭空间和二次共轭空间,如, 等,固然还可以讨论三次共轭空间和四次共轭空间等,赋范空间的性质与它的二次共轭空间有着密切的联系.对于任意,可以构造出的线性泛函如下：.则由可知为上的线性持续泛函,且. 因而对于任意 ,若定义,则为到的映射.映射称为
5、到的自然嵌入,它有下面的性质. 定理4.2.1 设是赋范空间,则是到的保范线性算子,即 （1）；（2）. 证明 （1）对任意,有 （2）对任意,由定理可知,存在,使得,故因此,由可知.记,则,且是到的保范同构,因而可以把和当作同样的赋范空间,亦即不辨别和,在这种意义下,可当作的子空间,即.一般来说,与是不相等的,如果的话,赋范空间就具有较好的性质. 1927年 在研究赋范空间的线性方程时,结识到了这种空间的重要性,引入了自反这一概念.定义4.2.1 设是赋范线性空间,若从的自然嵌入映射是满射,即,则称是自反的. 和都不是自反的,但是自反的.明显地,若是自反的,则与保范同构.问题4.2.1 若是
6、空间,与保范同构时,与否一定自反？ 在1951年已构造了一种非自反的空间,与保范同构,但不是自反的.(参见：R. C. James, A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, (1951), 174-177.).由于自反时,有,因此一定是完备的赋范空间. 定理4.2.2 若是自反的赋范空间,则X是空间. 怎么才干懂得一种赋范空间是自反的呢？花了二十年的时间研究这一问题,得到了一种很简要的鉴别法.(参见：R. C. James
7、, Reflexivity and the supremum of linearfunctionals. Ann. of Math. (2) 66 (1957), 159169.)定理 4.2.3 空间是自反的当且仅当对任意,存在,使得. 运用这一定理,容易证明任意有限维空间是自反的.定理4.2.4 若空间是有限维的,则是自反的空间. 证明 对于任意,由,可知存在,使得 .由于是有限维的,因此闭单位球是紧的，故有收敛子列,从而,满足,因此是自反的空间. 定理4.2.5 若空间是自反的,则可分当且当仅可分. 证明 明显地,只须证明可分时,可分. 由于是自反的,因此,故可分时,可分,因此是可分的.
8、 由于,并且可分,不可分,因此由上面定理可知,不是自反空间. Banach空间的自反性有诸多重要的性质,下面就是某些自反的充要条件.定理4.2.6 若是空间,则下列条件都是等价的.(1) 是自反空间;(2) 的每个闭线性子空间都是自反空间;(3) 的每个闭凸集A均有范数最小元,即存在,使得;(4) 的每个闭凸集A都是可逼近集,即对任意,都一定存在,使得.4.3 弱收敛在赋范空间中序列的收敛定义为,即依范数收敛于,这种收敛性亦为强收敛,但在和上还可以定义比范数弱的收敛性,这就是弱收敛性和弱*收敛,这些收敛性在研究和的性质以及它们的联系时起着重要的作用.定义4.3.1 设是赋范空间,若,若对任意,
9、均有则称弱收敛于,记为例4.3.1 设为的基,则对于任意,有,使得,故 ,因此对任意成立,即. 定理4.3.2 设是赋范空间,若,则. 证明 由于,因此,故对于任意,有,因此.一般来说, 时,不一定有,例如在中,但不成立.由定理容易懂得,若是弱收敛序列,则的弱收敛点唯一. 即,且时,有. 虽然时,一般不成立,但有某些赋范空间,弱收敛与强收敛是一致的. 定理4.3.3 若是有限维空间,则当且仅当. 证明 明显地,只须证明对于有限维空间,时,一定有. 设为的基,则对,有由于 是基,因此,故由定理可知存在,使得,且.由可知,因此.因而因此,序列强收敛于.问题4.3.1 若是空间,且有时,则与否一定是
10、有限维空间？ 有趣的是在19证明了在中,与是等价的.定理4.3.4 在中,当且仅当. 弱收敛还可以用下面的定理来刻画. 定理4.3.5 设是赋范空间,则当且仅当（1）是有界；（2） 存在,使得,且对所有,有. 证明 令,则由(1)可知,且, 对任意成立.对于任意 ,由于,因此对于任意,有,使得,由可知,故存在,使得时,有因而对于,有因此,对成立,即.反过来,若,则对任意,有,故因而由于是空间,因此由一致有界原理可知,即,因此是有界的. 类似于列紧性的定义,可以定义弱列紧性. 定义4.3.2 设是赋范空间,是的子集,若的任意序列都具有弱收敛子序列,且弱收敛点属于,则称是弱列紧的. 例如在中,是弱
11、列紧的. 与列紧性刻画了有限维空间的特性类似,弱列紧性刻画了自反空间的特性.定理4.3.6 空间是自反的当且仅当的任意有界集都是弱相对列紧的. 对于赋范空间的共轭空间,由序列弱收敛的定义,对,当且仅当对于任意,有.除了范数收敛和弱收敛,在上还可以定义弱收敛. 定义4.3.3 设是赋范空间,若对任意,有,则称弱*收敛于,记为 . 明显地,弱收敛比弱*收敛强. 定理4.3.7 设是赋范空间,若,则. 类似于弱收敛,对于弱*收敛,有下面的定理成立. 定理4.3.8 设是空间,则的充要条件是（1）是有界；（2） 存在,使得,且对任意,有. 定理4.3.9 设是自反空间,则当且仅当 . 例4.3.10
12、对于的共轭空间,取,则对任意,有, 因此,故. 但对于,有, 因而不弱收敛于0. 由上例可知,序列的弱*收敛要比弱收敛还要弱. 类似于中弱列紧集的定义,可以考虑中子集的弱列紧性.定义4.3.4 设是赋范空间,若中任意序列都具有弱*收敛子序列,则称为的相对弱*列紧集.若中任意序列都具有弱*收敛子序列,且其弱*收敛点都属于,则称是的弱*紧列集.明显地,对于的子集,的列紧集性要比弱*紧性强. 定理4.3.11 若是的列紧集,则一定是弱*列紧集. 可分Banach空间的BanachAlaoglu定理是S. Banach在1932给出的.定理4.3.12 （BanachAlaoglu定理）若是可分空间,
13、则的每个有界集都是相对弱列紧的. 证明 设是的有界集,则存在,使得对任意成立. 由于是可分的,因此存在可数集,使得.对于任意和,有,因此是中的有界数列,因而可以取到满足下列条件的子序列. 且在点收敛；且在点收敛；.且在点收敛.这里. 运用对角线法,取子序列,则,且对任意,有存在,因而由上面定理可知弱*收敛于. 因此,是的相对弱*列紧集. L. Alaoglu在1940第一次给出了一般Banach空间的BanachAlaoglu定理的证明.定理4.3.13 （BanachAlaoglu定理）若是空间,则的每个有界集都是相对弱列紧的. 例4.3.13 设是空间,是的闭子空间,若,且,试证明. 证明 假设,则由于是闭子空间,因此,故由定理,存在,使得 ,且对于任意,有,因此,但这与矛盾,因此. 4.4 共轭算子 由赋范空间到赋范空间的线性持续算子,可以讨论到的共轭算子,这种共轭算子在讨论物理学及其她某些应用中浮现的算子方程时是很有用的.定义4.4.1 设和是赋范空间. ,若存在到的算子,使得对任意和,有则称为的共轭算子. 对于任意,与否的共轭算子一定存在呢？ 定理4.4.1 设, 是赋范空间,若,则的共轭算子一定存在,且. 证明 对于任意,定义 则是线性的,且从而,并且.定义则是到的线性算子. 由于,因此,故,且对任意,有因而,为的共轭算子. 对于任意,若,则由定理可知
