第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连 通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别 一些互不同胚的空间.§4.1连通空间本节重点：掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间（0, 1） 和［1, 2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U［1, 2） = （0, 2） 却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1） U（1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一 种情形，区间（0, 1）有一个凝聚点1在［1, 2）中；而对于后一种情形，两 个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义，用术语 来区别这两种情形.定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果（相耳=0则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于"百=0和归同时成立，也就是 说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1, 2） 是隔离的，而子集（0，l）和［1，2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空 间中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和 B使得X=AUB，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是 连通空间.定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：（1） X是一个不连通空间；（2） X中存在着两个非空的闭子集A和B使得ADB=°和AUB=X成立；（3） X中存在着两个非空的开子集A和B使得ADB=°和AUB=X成立；（4） X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明 条件（1）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的 隔离子集使得AUB = X，显然AEB二°，并且这时我们有B =B =Br^（AuB） = （B cA）u （吾 P） = B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明 了集合A和B满足条件（2）中的要求.条件（2）蕴涵（3） .如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所 以A、B为闭集，则由于这时有A = 8和B二次，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求.条件（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所 以A、B是开集，则由A=^‘和B二月'易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（・.・A、B尹°,AUB=X,.・・A、B尹X）子集，所以条件4） 成立.条件（4）蕴涵（1）.设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B二独.则 A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得AUB=X.易见两个无 交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（1）成立.例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是 因为对于任何一个无理数rER-Q，集合（-8, r）AQ=（--，r]nQ是子 空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.证明 我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭 集A和B使得AEB=0和AUB = R成立.任意选取aEA和bEB，不失一般性 可设aVb.令3=An[a,b]，和卧Bn[a,b].于是和吾是R中的两个非空闭 集分别包含a和b，并且使得Wn3 = 0和2u* = [a，b]成立.集合3有上界 b，故有上确界，设为万.由于打是一个闭集，所以# E0，并且因此可见» V b，因为汉=b将导致bE^n互，而这与An^=°矛盾.因此（汉，b]匚互.由 于垣是一个闭集，所以汉e垣.这又导致汉E0n垣，也与2n^=0矛盾.定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一 个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集.拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即 Y的连通与否与X的连通与否没有关系.).因此，如果丫尊 *，则Y是X 的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集，A, B^Y.则A和B是子空 间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集 A和B使得AUB=Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得 AUB=Y・证明 用4以)、C/M)分别表示a在Y, X中的闭包.因为(B) rM) = 月)= 电顷弓(3)S硕=R(X)P)顷 J® C』)因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集 A和B使得Y匚AUB，则或者Y匚A,或者Y^B.证明 如果A和B是X中的隔离子集使得Y CAUB，则c c 后)uScFc J)= rnOnJ)u(^nZ) = 0这说明AEY和BEY也是隔离子集.然而(AEY)U(BEY) = (AUB)EY=Y因此根据定理4.1.3，集合AEY和BEY中必有一个是空集.如果 AEY二°，据上式立即可见Y匚B，如果BEY=°，同理可见Y匚A.定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z匚X满足条件KuZuF .则Z也是X的一个连通子集.证明 假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4.1.3,在X中有非空隔离子集A和B使得Z=AUB,因此Y匚AUB.由于Y是连通的，根据定理4.1.4, 或者^a. ■.■ZcrcJ=>Zn5cZnJ? = 0=^5 = 2n5 = 0 或者YUB,同理，盟=°.这两种情形都与假设矛盾.定理4.1.6设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果 ，则”冲匕是X的一个连通子集.证明 设A和B是X中的两个隔离子集，使得%" , =AUB.任意选取 xefm匕，不失一般性，设xEA.对于每一个丫£「，由于匕连通，根据 定理4.1.4，或者七匚月或者「匚'；由于xE^EA，所以 4 =0 .根据定理4.1.3，这就证明了口冲匕是连通的.定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x，yEY存 在X中的一个连通子集使得x，yE『职匚Y，则Y是X中的一个连通子集.证明 如果Y二°，显然Y是连通的.下设Y尹°,任意选取aEY，容易验 证Y=°心灼并且a^c心％ .应用定理4.1.6，可见Y是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2.2）.所 谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间 所具有的性质.事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉 助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个 连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性 质.因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不 变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个 商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的 自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商 性质・以下定理4.1.8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一 个在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4.1.8设f:X-Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则 f (X)是Y的一个连通子集.证明 如果f (X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A 和B使得f (X)=AUB.于是/一1 (A)和广'(B)是X的非空子集，并且 (广3) c厂®)) u (/一也)凸广⑶) 匚V 1④C广侦)E (尸尸函) = = 0所以J" (A)和(B)是乂的非空隔离子集.此外，尸(A)U^t (B)=JT (AUB)二广(f(X))=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间 芍工广久都具有性质p,蕴涵着积空间工巡站"-区也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间芍乂，尤 都是离散空间（平庸空 间），则积空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说 拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3.2. 9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个 性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要 证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理4.1.9设 是n个连通空间.则积空间乂'次乂滨乂.也是连通空间.证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果育知可危止）已A其孤两个点有一个坐标相 同，则Xf 有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设色r 1定义映射k：花tXi*足使得对于任何勺已葩有先（知）=（血,可）.由于外成：芜T划是取常值％的映射， 孔吨：芜为恒同映射，它们都是连续映射，其中外，已分别是Xf 到第1和第2个坐标空间的 投射.因此，k是一个连续映射.根据定理4.1.8, k（芜）是连通的.此外易 见，二了注:二属于村驾的某一个连通子集.这是因为这时若令 ，则根据前段结论，可见有"犯的一个连通子集K同时包含x和z，也有乂皿 的一个连通子集％同时包含y和z.由于zE^c与，因此根据定理4.1.6,是连通的，它同时包含x和y.于是应用定理4.1.7可见％】x均是一个连通空间.因为n维欧氏空间^是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一 个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间&'是一个连通空间.作业：P116 3. 5. 6. 8. 14.§4.2连通性的某些简单应用本节重点：掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如 果它至少包含两个点，并且如果a,bEE, aVb,则有［a，b］={xER|aWxWb}匚E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：( — 8,8),(a,8),［a,8),(—8, a)， (-8，a］(a，b),(a, b］，［a, b)，［a, b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果EU R是一个区间，可视E有无上(下)界，以及在有上(下)界的情形下视其上(下)确界是否属于E,而将£归入以上9类之一在定理4.1. 2中我们证明了实数空间R是一个连通空间.因为区间(a, 8), (-8, a)和(a, b)都同胚于R (请读者自己写出必要的同胚映射)， 所以这些区间也都是连通的；由于(")=［虬叽(-叩〕=(-*］(5 匚［廿上)仁［竺州,(色幻c("］仁［"］匚(5根据定理 4. 1. 5 可见区间［a,8),(-8, a］, ［a, b),(a, b］和 ［a, b］都是连通的.另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点.如果E 不是一个区间，^士用已乩口 ［孔刻，也就是说，存在a