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1、高二数学(下)棱锥2021215 高二数学下 棱 锥 习 题 课例1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为，底面边长为a ，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高分析 正棱锥的高、斜高和斜高在底面射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱和半个边长组成直角三角形解 作出正六棱锥的特征图形，图2-8，过底面中心O 作OM AB 于M ，连SM ，则由三垂线定理aSM AB ，SMO =，AM 2在Rt SAO 中注图形较复杂时，能够作出和已知数量和所求数量相关的特征图应熟记例2 已知正三棱锥S ABC 的底面边长为a ，侧面和底面所成角为60，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值分析 图2-9作SO 底
2、面于O ，由正三棱锥的定义知O 是ABC 的中心，连结CO 并延长交AB 于D ，连SD 则CD ABSO 底面，OD 是SD 在底面上的射影SD AB ，SDC 是侧面和底面所成二面角的平面角，SDC 60ABC 是边长为a 的正三角形作BE SC 于E ，连结AEBC AC ，BCE ACE ，CE CEBCE ACE 。AEC BEC 90AEB 是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角又BC SF SC BE评注 本题充足应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起主要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径组成的直角三
3、角形，斜高、侧棱、底边的二分之一组成的直角三角形，和含有相邻两个侧面所组成二面角的平面角的三角形 例3 已知正三棱锥P ABC 的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面和底面成30二面角，求此正三棱锥的侧面积分析 关键：求斜高解直角三角形图2-10，作PO 底面ABC 于O P ABC 为正三棱锥。O 为底面正三角形ABC 的中心连结AO 交BC 于M ，连结PM ，则AM BC ，PM BC 。BC 平面APM ，BC DM 截面DBC 和底面成30二面角。AMD 3O PA 平面DBC 。PA DM ，PAM 60正三角形ABC 的边长为a 。评注 熟悉正多边
4、形的元素之间的关系会给解题带来很多方便例4 已知四棱锥V ABCD 的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 夹角为120，且全部垂直于底面，另两侧面和底面夹角全部是45，求棱锥的全方面积分析 关键是找出另两个侧面和底面的二面角的平面角，并证实是二面角的平面角，使空间问题转化到平面问题解 图2-11面VDA 底面ABCD 。面VDC 底面ABCD 。且平面VDA 平面VDC VD 。VD 底面ABCD ，VD AD ，VD CDADC 是二面角A-VD-C 的平面角ADC 120。又底面ABCD 是菱形，DAB 60，连BD ，ABD 是等边三角形，取AB 的中点H ，连DH 、VH ，则DH AB ，由三垂线定理知VH AB 。VHD 是侧面VAB 和底面所成角的平面角。VAB VCBS 全2S VAD2S VABSABCD ，
