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1、“数值计算方法”习题解答配套教材:数值分析简明教程，王能超编著，高等教育出版社，第二版第二章数值积分2.1机械求积和插值求积1、(p.94,习题3)确左下列求积公式中的待左参数，使其代数精度尽量髙，并指明求积公式所具有的代数精度：(1) /(x)dx AJ(-h) + A,/(0) + A2f(h):(2) J： f(x)dx a+ A() + A/(|)；打(x)心存(0) +人/(兀)。h 4解得：血=%=亍,州弓，即:【解】(1)令f(x) = ,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组:4)+ 州 + 人2 = 2/1一人)+生=0(2)+ A2 = h匸 fg 善/(-/) + 4/
2、(0) + /(),可以验证，对/(x) = X3公式亦成立，而对f(x) = x4不成立，故公式(1)具有3次代数精度。(2)令f(x) = ,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组：A) + A+A2=(1) =(3)令fM = l.x时等式精确成立，可解得：4宀討441当 f(x) = x ,左边=jx)dx = -xo2=-；右边=-xl + lx- = l;左=右;022 42 42当f(x) = 22,左边北心討冷；右边十百+ 16 16X -故该插值求枳公式具有一次代数精度。2.2梯形公式和Simpson公式1(p.95,习题9)设已给出/(x) = l + “7sin4x的数
3、拯表,X0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 59分別用复化梯形法与复化辛普生法求积分I = J： /（x） dx的近似值。【解】（1）用复化梯形法：a = O.b = l,n = 5Ji = - = = 0.25n 4“TI人=工亍MX)+ /(%) =刃/)+ 2 工、fg + f(b)妇o2/El0 25T5=x/(0.00) + 2x /(0.25) + /(0.50) + /(0.75) + /(1.00)JT5 = 0.125 X 1.00000 +2x(1.65534 +1.55152+1.06
4、666) + 0.72159T5 = 1.28358(2)用复化辛普生法：a = 0,b = l,n = 2Ji = -_ = = 0.5n 2n-l hhn-1H-iS2 =若-)+ 仃(口) + /(+1) = - f(a) + 4g/(xL) + 2 耳 f(xk) + f(b)S2= x /(0.00) + 4x /(0.25) + /(0.75) + 2 x /(0.50) + /(1.00)6S2 詁 X 1.00000+10.888 + 3.10304 + 0.72159 q 1.30939 2、（p.95,习题10）设用复化梯形法计算积分心血为使截断误差不超过问应当划分区间【0
5、,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】（1）用复化梯形法，a = Q,b = 1./（x） = f（x） = r（x） = ex，设需划分n等分,则其截断误差表达式为:Rr 1=1/-7；, 1=12；rmax 广 )=(1-Q)312n36依题意,要求IRJS丄X10-5,即2a 212.849 ,可取 /i = 213o（2）用复化辛普生法，6/ = O.h = J（x） = fx） = /MM（x） =,截断误差表达式为:I /?s 1=1 / - S” 1=(方 _“)丁max 广(歹)=(1-g = 一: 180(2/2)42880/?42880/74依题意，要求I Rs
6、l|xl0-5,即一 (52)和(53)可知,n = 2,A = Xj -x0 = x2 -则R(x()=(乞) (2 + 1)!J-1、(2 + 1)!7=03!6(2 + 1)!P(a2-x.)= Z-2)(X2-“)(X2 -K) = 一h-3!X1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066试用三点公式计算广(10)/(11)/(12)的值，并估计误差【解】已知兀0 = 10,西=1丄花=12 = X心=%2一X】=0 1，用三点公式计算微商:(1.0) -3/(1.0) + 4/(1.1) - /(1.2) =-3 X 0.2500 + 4 x 0.2268 - 0.
7、2066 = -0.24702h2x0.1广(1. 1).0) + /(1.2) = !-0.2500 + 0.2066 = -0.21702h2x0.1广(1.2) 丄/(1.0)-4/(1.1) + 3/(1.2) = 0.2500一4x0.2268 + 3x0.2066 = -0.1870 2h2x0.11一 26一 24f(x) = /(x) = ；= /M(x) = ；= /,M(x)=，(1 + x)2(1 + x)h = 0.001,x0 = 0.8-/z = 0.799,禺=0.8 + A = 0.801，则(1 + x)4(1 + x)5用余项表达式计算误差则0)=以扯宀土竺
8、 2.002533(1 + 1.0)5R(l.l) = Z- (/?2 a. A 0.00125 3!3!(1 + 1.0)5R(1.2) = - h1 Q 一 匚 -0.0496733(1 + 1.1)53、(p.96,习题26)设/W = sinx,分别取步长/? = 0.1,0.010.001,用中点公式(52)计算/(08)的值，令中间数据保留小数点后第6位。【解】中心差商公式：广(a) #截断误差：R(h) = D3h2。可2h3!见步长h越小，截断误差亦越小。(1) h = 0.1, x0 = 0.8 /? = 0.7, x2 = 0.8 + h = 0.9 M广(0.8) a s
9、m(0.9)-sin(0.7)2h0.783327-0.644218).0.695545： (2) h = 0.01,x0 = 0.8 A = 0.79,x2 = 0.8+ /i = 0.81，则广(08) sin(0.8 l)-sin(0.79) a 2hi-0.724287-0.710353,0.6967广(08)Q-Lsin(0801) sin(0799)a)0.718052 - 0.716659 0.6965 2h2x0.01而精确值/(0.8) = cos(p.8) = 0.6967067,可见当力= 0.01时得到的误差最小。在h = 0.001时反而误差增大的原因是/(0.8 + /)与/(0.8-/?)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。
