蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

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1、中子输运理论和数值方法课程作业蒙特卡洛方法目录1. 前言22. 蒙特卡洛方法概述22.1 蒙特卡洛方法的基本思想32.2蒙特卡洛方法的收敛性、误差32.2.1蒙特卡洛方法的收敛性32.2.2蒙特卡洛方法的误差42.3蒙特卡洛方法的特点52.4蒙特卡洛方法的主要使用范围63. 随机数63.1线性乘同余方法83.2伪随机数序列的均匀性和独立性83.2.1伪随机数的均匀性83.2.2伪随机数的独立性94. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的使用94.1屏蔽问题模型94.2直接模拟方法104.2.1状态参数和状态序列104.2.2模拟运动过程114.2.3 记录结果144.3蒙特卡洛方法的效率155. 蒙特卡

2、洛方法使用程序一MCNP155.1 MCNP 简述155.2 MCNP误差的估计175.3 MCNP效率因素186. 结论18参考文献181. 刖言半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验和研制 中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但和一般数值计算方法有很大区 别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地 描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方 法的使用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、 有效的方法，对于

3、原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际 问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的 近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面和能量相关以及散射各向 异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问 题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以 及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计 算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法 是求解辐射输

4、运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题， 具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介 绍蒙特卡洛的概念、原理和使用及研究现状。2. 蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科 学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来， 并首先在核武器的试验和研制中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但 和一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于 蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方 法难以解决的问题，因而该方法的使用领域日趋广泛。蒙特

5、卡洛方法的主要组成部分有：(1) 概率密度函数(pdf)必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数；(2) 随机数产生器一能够产生在区间0,1上均匀分布的随机数；(3) 抽样规则一如何从在区间0,1上均匀分布的随机数出发，随机抽取服从给定的pdf的随机变量；(4) 模拟结果记录一记录一些感兴趣的量的模拟结果；(5) 误差估计一必须确定统计误差(或方差)随模拟次数以及其它一些量的变 化；(6) 减少方差的技术一利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；(7) 并行和矢量化一可以在先进的并行计算机上运行的有效算法2.1蒙特卡洛方法的基本思想可以通俗地说，蒙特卡洛方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要

6、计算 的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量g (r)的数学期望= Jg(r)f(r)dr(0)0通过某种试验，得到N个观察值s r2，rN (用概率语言来说，从分布密度 函数f(r)中抽取N个子样q，r2，.，rN，)，将相应的N个随机变量的值g(r1)， g(r2)，g(rN)的算术平均值g =丄迓g(r)，作为积分的估计值(近似值)。2NN Nii=1为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方 法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通

7、过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验 交由计算机完成，使得蒙特卡洛方法得以广泛地使用，在现代化的科学技术中发 挥应有的作用。2.2蒙特卡洛方法的收敛性、误差蒙特卡洛方法作为一种计算方法，其收敛性和误差是普遍关心的一个重要问 题。2.2.1蒙特卡洛方法的收敛性由前面介绍可知，蒙特卡洛方法是由随机变量X的简单子样X, x2,， xN的算术平均值X =丄迓X .作为所求解的近似值。由大数定律可知，如X,NN Ni1i=1x2，XN独立同分布，且具有有限期望值，则P lim X二E(X)二1。即随I N* “ 丿机变量X的简单子样的算术平均值X，当子样数N充分大时，以概率1收敛于 N它

8、的期望值E(X)。2.2.2蒙特卡洛方法的误差蒙特卡洛方法的近似值和真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答 案。该定理指出，如果随机变量序列X, x2,，xN独立同分布，且具有有限 非零的方差O2，即o丰2 (x-E(X)2 f (x)dxg。i(X)是X的分布密度函数。limp迈N T8 、XN - E(X)| x-2Jx e-t 2/2 dtJ2兀-x(0.2)当N充分大时，有如下的近似式(0.3)P X - E(X )|竺 Ge-2i2dt 二 1 -aI N 1 VN 丿 T2k 0其中a称为置信度,1 a称为置信水平。这表明，不等式|Xn-E(X)|近似地以概率1 a成立，且误

9、差收敛速度的阶为O(N-1/2)。通常，蒙特卡洛方 法的误差定义为(0.4)上式中九和置信度a是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查a标准正态分布表，就可以确定出九。常用的a和九的对应关系为：a=0.5，九aaa=0.6745； a=0.05,九=0.96； a=0.003,九=3.蒙特卡洛方法的误差为概率误差，aa这和其他数值计算方法是有区别的。误差中的均方差a是未知的，必须使用其估 计值/二产飞“(05)Ti=1i=1来代替以求出均方差o。由式(0.4)可知当给定置信度a后，误差由o和N决定。 要减小或者是增大N,或者是减小方差02。在o固定的情况下，要把精度提 高一个数量级，试

10、验次数N需增加两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有 效的办法。另一方面，如能减小估计的均方差o,比如降低一半，那误差就减小 一半，这相当于N增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的 普遍注意。2.3蒙特卡洛方法的特点作为一种统计试验方法，蒙特卡洛方法因其优点在诸多领域内有着广泛，但 同时存在一些缺点。蒙特卡洛的主要优点有：(1) 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。蒙特卡 洛方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特 卡洛方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达 式出发。它有直观、形象的特点。(2) 受几何

11、条件限制小。在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分 g =Jl Jg(x ,x ,L ,x )dxdx L dx时，无论区域D的形状多么特殊，只要能给出D12s 12ssDs描述Ds的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点(x(i),x(i),L ,x(i)，得 到积分的近似值g = Ds g(x(i),x(i),L ,x(i)，其中D为区域D的体积。这是数N N12sssi=1值方法难以作到的。(3) 收敛速度和问题的维数无关。由误差定义可知，在给定置信水平情况下， 蒙特卡洛方法的收敛速度为O(N-1/2)，和问题本身的维数无关。维数的变化，只 引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影

12、响误差。也就是说，使用蒙特卡洛 方法时，抽取的子样总数N和维数s无关。维数的增加，除了增加相应的计算量 外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡洛方法对多维问题的适应性。(4) 具有同时计算多个方案和多个未知量的能力。对于那些需要计算多个方案 的问题，使用蒙特卡洛方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计 算所有的方案，其全部计算量几乎和计算一个方案的计算量相当。例如，对于屏 蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。(5) 误差容易确定。对于一般计算方法，要给出计算结果和真值的误差并

13、不是 一件容易的事情，而蒙特卡洛方法则不然。根据蒙特卡洛方法的误差公式，可以 在计算所求量的同时计算出误差。对干很复杂的蒙特卡洛方法计算问题，也是容 易确定的。(6) 程序结构简单，易于实现。在计算机上进行蒙特卡洛方法计算时，程序结 构简单，分块性强，易于实现。蒙特卡洛的主要缺点有：(1) 收敛速度慢。如前所述，蒙特卡洛方法的收敛速度为O(N 1/2)，一般不容 易得到精确度较高的近似结果。对于维数少(三维以下)的问题，不如其他方法 好。(2) 误差具有概率性。由于蒙特卡洛方法的误差是在一定置信水平下估计的， 所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。(3) 在粒子输运问题中，计算结果和

14、系统大小有关。经验表明，只有当系统的 大小和粒子的平均自由程可以相比较时(一般在十个平均自由程左右)，蒙特卡 洛方法计算的结果较为满意。但对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果 往往比真值偏低。而对于大系统，数值方法则是适用的。因此，在使用蒙特卡洛 方法时，可以考虑把蒙特卡洛方法和分析(或数值)方法相结合，取长补短。2.4蒙特卡洛方法的主要使用范围蒙特卡洛方法所特有的优点，使得它的使用范围越来越广。它的主要使用范 围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医 学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其使用范围将更加广泛。蒙特卡洛方法在粒子输运问题中的使用范围主要

15、包括：实验核物理，反应堆 物理，高能物理等方面。蒙特卡洛方法在实验核物理中的使用范围主要包括：通 量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体 正比计数管反冲质子谱，多次散射和通量衰减修正等方面。3. 随机数随机数是蒙特卡洛方法的主要组成部分之一。随机数是指一个数列，其中的每一个体称为随机数，其值和数列中的其它数无关。在一个均匀分布的随机数中， 每一个体出现的概率是均等的。物理中的很多过程需要随机数确定，比如出射粒 子的能量、方向等属性，粒子和介质的相互作用等等。所模拟的物理过程要求随 机数应具有下列特性：1. 随机数序列应是独立的、互不相关的(u ncorrelated):即序列中的任一子 序列应和其它的子序列无关；2. 长的周期(long period)：实际使用中，随机数都是用数学方法计算出来的， 这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复；3. 均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity):随机数序列应是均匀的、 无偏的，即：如果两