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1、小学数学奥数基础教程 （五年级 ）本教程共 30 讲逻辑问题（一）四年级已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。从广义上 说，任何一道数学题， 任何一个思维过程， 都需要逻辑分析、 判断和推理。 我们这里所说的逻辑问题， 是指那些主要不是通过计算， 而是通过逻辑分 析、判断和推理，得出正确结论的问题。逻辑推理必须遵守四条基本规律：（1）同一律 。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应 从始至终保持一致，不能改变。（2）矛盾律 。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判 断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于 8”和“这个数小于 5” 是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是
2、错的，甚至两个都是错的。（3）排中律 。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判 断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于 8”是两个恰好相反的判断， 其中必有一个是对的， 一个是错的。（4）理由充足律 。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不 对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中， 在思考、分析问题时， 都自觉或不自觉地 使用着上面的规则， 只是没有加以总结。 例如假设法， 根据假设推出与已 知条件矛盾， 从而否定假设， 就是利用了矛盾律。 在列表法中， 对同一事 件“V”与“X”只有一个成立，就是利用了排中律。例 1 张聪、王仁、陈来三位
3、老师担任五 （2）班的语文、数学、英语、 音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：（1）英语老师和数学老师是邻居；（2）王仁年纪最小；（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；（4）体育老师比语文老师年龄大；5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操请判断各人分别教的是哪两门课程分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计 出右图的表格，表内用“/”表示肯定，用“X”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有 2个“V”；因为每门课只有一人 教，所以每一竖列都只有1个“V”，其余均为“ X”。数英-g-美体张王陈由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）
4、知，王仁不是语文、 音乐老师；由（2）（ 4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。 至此，得到左下表。语数英音美体,张XX;王XXX陈语数英音美体张X |X X壬XXXX陈XX由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人， 即陈来不是数学老师, 推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王 仁是美术老师。至此，得到右上表。由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文 老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师， 推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。丿吾数英音美体张XXXXXXXX陈XXXX所以，张聪教语文、英语，王仁教数
5、学、美术，陈来教音乐、体育。以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确 结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格 中每行只有两个“V”，每列只有一个“V”，其余都是“X”这个隐含 条件。例1的推理方法是不断排斥不可能的情况， 选取符合条件的结论，这 种方法叫做排他法。例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并 分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：(1) 小明不在一小；(2) 小芳不在二小；(3) 爱好乒乓球的不在三小；(4) 爱好游泳的在一小；(5) 爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道
6、题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。 与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表 1、 表2、表3表示：二不三小小明X小芳X小花表1一小二尘三小小明小芳X小花表2一小二小1 / 游泳羽毛球乒乓球X表3因为各表中，每行每列只能有一个“V”，所以表 3可补全为表4表4耒5小二尘三小游泳丿XX羽毛球XX乒丘球XX1小二小三小小明XX小芳XX丿小花XX由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不 在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4,得到：小明在二小 上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学， 爱好游泳。例1、例2用列表法
7、求解。下面，我们用分析推理的方法解例 3、例 4。例3小说镜花缘中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一 天他们来到了 “两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了 “两面国” 里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、 五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、 日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”请判断这一天是星期几。分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个 说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话， 与题意不符。由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话
8、；这一天说假话的，前 一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。 因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子， 所以这一天 不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但 不是马面由说假话变为说真话的日子， 所以这一天也不是星期一；星期四 是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日 子，所以这天是星期四。例4 A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。A:“ C, D两人中有人做了好事。”B:“ C做了好事，我没做。”C:“A，D中只有一人做了好事D:“ B说的是事
9、实最后通过仔细分析调查， 发现四人中有两人说的是事实， 另两人说的 与事实有出入。到底是谁做了好事？分析与解 :我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实， 另两人说的与事实有出入。 注意，此处的“与事实有出入” 表示不完全与 事实相符，比如，当B, C都做了好事，或B, C都没做好事，或B做了 好事而 C 没做好事时， B 说的话都与事实有出入。因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么 B与D正确， A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1假设B与D说的话正确。 这时 C 做了好事， A 说 C， D 两人中有人做了好事， A 说的话也正确， 这 与题目条件只有“两人说的是事实”
10、相矛盾。所以假设不对。（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是 A与C,或B与D， 或C与D。若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确，与题 意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。综上所述，做好事的是B与Do练习 271. A， B， C， D， E 五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问 题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。A说：“我坐在B的旁边”B说：“坐在我左边的不是 C就是0”C说：“我挨着D。”D说：“ C坐在B的右边”实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？2. 从 A， B， C， D， E， F 六种产品
11、中挑选出部分产品去参加博览会 根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（ 1） A， B 两种产品中至少选一种；（2） A，D两种产品不能同时入选；3） A， E， F 三种产品中要选两种；(4) B, C两种产品都入选或都不能入选；( 5) C， D 两种产品中选一种；(6) 若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？3. 三户人家每家有一个孩子，分别是小平(女)、小红(女)和小虎 (男)，孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。( 1)老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；( 2)老张的女儿不是小红；( 3)老陈和方丽不是一家人。请你将三户人家区分开。4.
12、甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职 业分别是教师、工人、演员。已知：( 1)甲不是辽宁人，乙不是广西人；( 2)辽宁人不是演员，广西人是教师；( 3)乙不是工人。求这三人各自的籍贯和职业。5. 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲 和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：( 1)三人都说谎；( 2)三人都不说谎；( 3 )三人中只有一人说谎；( 4)三人中只有一人不说谎。6. 五号楼住着四个女孩和两个男孩， 他们的年龄各不相同， 最大的 10 岁，最小的 4 岁，最大的女孩比最小的男孩大 4 岁，最大的男孩比最小的 女孩也大
13、4 岁，求最大的男孩的岁数。练习 271.C。提示：由B, D所说知，C不挨着B,再由C所说知，C不挨 着D，所以C的两边是A和E。若C, A, E的位置如左下图，则由A所说，推知A的右边是 D,此时D在B的左边，B说的正确，与题意不符；若C，A，E的位置如右下图，则推出的结果符合题意。2.A， B， C， F o提示：用假设法。从条件（1）开始，有三种情况： 假设选A不B选，由（2）知D不能入选，再由（5）知C 入选，再由（4）推知C，B同时入选，与前面假设不选 B矛盾。 假设不成立。 假设选B不选A，由（3）知选E，F,由（6）知D入选， 再由（5）知C不入选，再由（4）推知B, C都不入选，与假设选 B矛盾。假设不成立。 假设A, B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也 不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选。符合题意。因 此，A, B, C, F选中参展。3老王，方丽，小红；老张，李玲，小平；老陈，刘英，小虎。提示：由题意可画出下面三个表：表1表2表3刘李方小平小红小虎小平小红小虎王X王X王強強XX张XX:陈陈将表2补全为表4。由表4知老陈的儿子是小虎，而李玲的孩 子是女儿，所以老陈和李玲不是一家人，由此可将表1补全为表5表4表5小平小红小虎水平小红小虎王XX王XX张XX张X丿X陈XX陈XX4甲，广西，教师；乙，山东，
