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1、-编号：班级：*：成绩：第 1 章 静电场1. 证明均匀介质部的极化电荷体密度 r ，总等于自由电荷体密度 r 的pf1 e0倍。e2.有一外半径分别为r 和r 的空心介质球，介质的介电常数为e ，使介质均12匀带静止自由电荷 r ，求f1空间各点的电场；2极化体电荷和极化面电荷分布。解 1由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故： r r1 时4pr 2 E( r ) = rfdV = 0或 E( r ) = 0V e0r r r的球形外：2式中 e = e e写在一起0r2P = D-e E = ( e -e ) rf1 -( r1 )3 r03er0r = - P =
2、 -e -e0 r与第一题相符pef外表：外外表：3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折.z-满足：tanq=e22tanqe11式中e 和e 分别为两介质的介电常数，q 和q 分别为界面两侧电场线与法线1212的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度s= 0 ，故边值关系为：fE= E, D = D n(E - E ) = 0 ,n(D - D ) =s 2 t1t2 n1n2121f假设两种介质都是线性均匀的，即 D= e E ， D = e E；111222上边两式为: E sinq= E sinq ，e E cos q= e E cos q22112221
3、11于是得：tanq2=etanqe2114. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体外表。证明：设介质 1 为导体，介质 2 为绝缘体。2绝缘体静电情况下： E = 0 , D = 01 导体11由边值关系：n(E - E ) = 0 ,n(D - D ) =s2121f可得： E= E , D2 n- D =s2 t1t1nf即， E= 0 ， D=s2 t2 nf对于各向同性线性介质 D =e E所以， E = s fne即导体外的电场线垂直于导体外表5.如图 1，有一厚度为2a ，电荷密度为 r 的均匀带电无限大平板，试用别0离变量法求
4、空间电势的分布。.Oz-解：以 O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与*有关，即一维问题。容易写出定解问题：*x = a 时j =jjji =eiexxx = 0 时j ( x ) = 0i直接求解得6. 半径a ，外半径为b 的两个同心导体球壳，令球接地，外球带电量Q ，试用别离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性，空间电势分布j仅与 r 有关，定结问题为：r=b时j =j ( ej1 -ej2 )ds = Q120 r0r求解得7.均匀外电场中 E ，置入半径为 R 的导体球。求以下两种情况的电势分布。001导体球上接有电池，使球保持电势为F；2导体球上带有总电荷Q 。
5、0解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与 r 有关1j的定解问题为此时j 是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用别离变量法解为02j的定解问题为类似解为8.介电常数为e 的无限均匀介质中，挖一个半径为a 的空球，球心处置一电矩为 p的自由偶极子，试求空间电势分布。fe解 如图建立球坐标系，的方向为极轴e 方向,aepfx0zj的定解问题为pf.z-r=a 时，j = j ；ejji = eeie0 rr注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，j 可写为：i第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故 B =0n解的电势分布9半径为 R
6、 的均匀介质球中心置一自由偶极子 p，球外充满另一种介质，f求空间各点的电势和极化电荷分布介质球介电常数为e ，球外为e 。12解：求解与上题类似，只需e e ,e e ,012得jp fr2(e1 -e2)p f r ()=+(e +2e )R3r R，14per 34pe011120j =3 p fr()4p(e + 2e)r 3r R ，2012极化电荷分布，在介质球 re= -1-0rpefep，因此在球心处有一极化电偶极矩 p = -1 -0ef在r = R 的界面上，由 = -n(p - p )， p = (e -e )j0p210可得，sp=()j()j = e0 jj=3e0(
7、e1 -e2)pfcos q e2 -e02 - e1 -e011-2() 3rr rr2pe e + 2eRr =R0r =R0112010.两个接地的无限大导电平面，其夹角为60，点电荷Q 位于这个两面角的平面上，并与棱边两面角之交线相距为a 。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷 Q 位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：.z-1首先考虑半面ON ，为了满足ON 平面的电势为零，应在 Q关于ON 对称的位置 B处有一像电荷-Q,+Q-QN2考虑半面ON ，同样为了满足电势EB为零的要求，对于 A、B 处两个点电荷a+Q-QFA+Q
8、 和-Q，应在 A、B 关于ON 对称的位置 C、D处有两个-Q、+Q，DCN+Q-Q3再考虑ON 半平面，对于 C、D处的-Q和+Q，应在 E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体ON 的电势为零。可以证明 E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON 平面对称，因而可满足ON平面的电势为零，这样找出了 5 个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域的场方程和边界条件得到满足，所以角域任一点 P 处的电势可表为( )1QQQQQQ j x=- + - + -，4perrrrr r0123456其中 r , r, r 分别为给定电荷 Q及其像电荷到 P 点的距离。126在其余空间的电势为j = 0 。11.接地空心导体球，外半径为 R 和 R ，球离球心a 处a R 置一点电121荷Q ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在外表还是外外表？其量为多少？假设导体球壳不接地而是带电量Q，则电势分布又如何？假设0导体球壳具有确定的电势j ，电势分布如何？0解：根据题意设球区域电势为j ，球外区域电势为j ，12.z-2j = - Q d(x -a , y , z )1e0，2 j = 02j=j= 01 R =R12 R =R2
