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1、第14讲 因式分解之十字相乘 【学习目标】1. 掌握十字相乘及用法2. 灵活运用十字相乘分解因式 【基础知识】考点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则考点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.考点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列
2、如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.考点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.考点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.考点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项按字母
3、分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式考点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【考点剖析】考点一：十字相乘法例1将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）举一反三：【变式1】分解因式：（1）； （2）； （3） 【变式
4、2】因式分解：. 例2、将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）.例3、将下列各式分解因式：（1）；（2）举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）； 考点二：分组分解法例4先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=
5、（x+y）（a+b）如“3+1”分法：2xy+y21+x2=x2+2xy+y21=（x+y）21=（x+y+1）（x+y1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2y2xy；（2）分解因式：45am220ax2+20axy5ay2；（3）分解因式：4a2+4a4a2bb4ab+1举一反三：【变式】分解因式： 【真题演练】一.选择题1. 将因式分解，结果是()A. B.C. D. 2.下列因式分解结果正确的是（）A BC D3. 如果，那么等于()A. B. C. D.4. 若，则的值为()A.9 B.15 C.15 D.95. 如果，则为 ( )A5 B6 C5 D66把进行
6、分组，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题7. 若，则.8. 因式分解_9分解因式： 10. 因式分解：_；11. 因式分解.12.分解因式：_.三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值14.因式分解：2x2+x315.分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）. 【过关检测】一.选择题1. 如果多项式能因式分解为，那么下列结论正确的是 ().A.6 B.1 C.-2 D.32. 若，且，则的值为().A.5 B.6 C.5 D.63. 将因式分解的结果是().A. B. C. D. 4把多项式1+a+b+ab分解
7、因式的结果是（）A（a1）（b1）B（a+1）（b+1）C（a+1）（b1）D（a1）（b+1）5. 对运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. B. C. D. 6如果有一个因式为，那么的值是（ ）A. 9 B.9 C.1 D.1二.填空题7.分解因式： 8. 分解因式：= 9分解因式的结果是_.10. 如果代数式有一因式，则的值为_11若有因式,则另外的因式是_.12. 分解因式：（1）；（2）三.解答题13. 已知，, 求的值.14. 分解下列因式：（1） （2）（3） （4）15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还
8、有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y） 2xy+y21+x2=x2+2xy+y21=（x+y）21=（x+y+1）（x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：x2+2x3=x2+2x+14=（x+1）222=（x+1+2）（x+12）=（x+3）（x1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2b2+ab；（2）分解因式：x26x7；（3）分解因式：a2+4ab5b2
