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1、 高等数学1 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目（教学章、节或主题）：1.1 映射与函数教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法。2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。3. 理解复合函数、反函数的概念。4 .熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。5 .会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点、难点：重点： 函数的概念，基本初等函数和初等函数的概念，复合函数的概念； 难点：函数的概念及性质教学方式、手段、媒介： 由于本次课是本章的基础课，概念性东西较多，同时部分也是以前高中就学过的知识，所以1、本次课以
2、ppt演示为主，重要的地方辅以板书注解2、课堂提问，活跃气氛，增加同学的上课积极性3、理论知识讲解结合实例，让同学能更好的掌握知识教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）一 集合1定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a属于集 合A，记作, 元素a不属于集合A, 2集合的表示法： （提问交流）3集合间的关系:（提问交流）4常见的数集N-自然数集；Z-整数集；Q-有理数集；R-实数集它们间关系: 5例子，则不含任何元素的集合称为空集, 记作例如, 规定 空集为任何集合的子集.6运算 （提问交流）5) 其运算律(1) A B= B
3、A, AB =BA(2)（AB )C =A(B C) , (A B)= A(B C)(3)（AB ) C =(A C )(B C)（A B ) C =(A C ) (B C)(4) 注意A与B的直积AB (x,y)xA且yB例如：R R=(x,y)xR且yR表示xoy面上全体点的集合, 常记为7邻域: 设与是两个实数且，称集合为点的邻域。点叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径。记作点的去心邻域记做 ，。注意：邻域总是开集。二、映射 1. 映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射
4、, 记作 f : XY , 其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即 y=f(x), 而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即 D f=X ; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R f, 或f(X), 即 R f=f(X)=f(x)|xX. 注意： (1)三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f Y; 对应法则f, 使对每个xX, 有唯一确定的y=f(x)与之对应. (2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yR f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R
5、 f是Y的一个子集, 即R f Y, 不一定R f=Y . 例1 设f : RR, 对每个xR, f(x)=x2. 例2 X=(x, y)|x2+y2=1, Y=(x, 0)|x|1, f : X Y, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. 例3 f :-1, 1, 对每个x, f(x)=sin x . 满射、单射和双射: 提问：上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射与复合映射 逆映射： 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yR f , 有唯一的xX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X的新映射g, 即 g : R f X, 对每个yR f ,
6、规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域=R f , 值域=X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 复合映射：设有两个映射 g : XY 1, f : Y 2Z, 其中Y 1Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: X Z, (f o g)(x)=fg(x), xX . 讨论： 映射g和f构成复合映射的条件是什么？ 例4 设有映
7、射g : R-1, 1, 对每个xR, g(x)=sin x, 映射f : -1, 10, 1, 对每个u-1, 1, , 则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1, 对每个xR, 有 . 三、函数1定义：设非空数集，通常简记为 ，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作 注意: （1）记号f和f(x)的含义是有区别 （2）函数的两要素: 例：求函数的定义域. 介绍单值函数与多值函数的概念。 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法) 函数的例子: 例. 函数. 称为绝对值函数. 其定义域为D=(-, +), 值域为R f =0, +). 例. 函数. 称为符
8、号函数. 其定义域为D=(-, +), 值域为R f =-1, 0, 1. 例 设x为任上实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作 x . 函数 y = x 称为取整函数. 其定义域为D=(-, +), 值域为R f =Z . , , p=3, -1=-1, -3. 5=-4. 分段函数: 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数. 这是一个分段函数, 其定义域为D=0, 1(0, +)= 0, +). 当0x1时, ; 当x1时, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4.2 函数的几种特性1）有界性:若在上有定义，有成立则称函数在
9、上有界，否则称无界。2）单调性设函数在区间上有定义，如果对于区间上任意两点，恒有则称函数在区间上是单调增加的；恒有则称函数在区间上是单调减少的。3）奇偶性设D关于原点对称，对于，有，称为偶函数。设D关于原点对称，对于，有，称为奇函数。4）周期性设函数的定义域为D，如果存在一个不为0的常数，对任意的均有则称为周期函数，为的周期。（通常说周期函数的周期是指其最小正周期） 3反函数与复合函数反函数: 设函数是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数的反函数。 一般地, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 讨论：什么样的函数必存在反函数？ 相对于反函数y=f -1(x)来说
10、, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数.y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的.(原因是什么？）复合函数: 设函数，函数在上有定义，则由下式确定的函数称为由函数和函数构成的复合函数，它的定义域为D，变量u称为中间变量。函数g与函数f构成的复合函数通常记为.讨论两个函数能构成复合函数的条件？ 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为-1, 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数 , xD; 提问：函数y=arcsin u和函数u=2+x2能否构成复合函数？为什么？ 4. 函数的运算
11、和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 积f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例11设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 5. 初等函数 基本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数); 指数函数: y=a x(a0且a1); 对数函数: y=loga x (a0且a1, 特别当a=e时, 记为y=ln x); 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 , y=sin2x, 等都是初等函数. 讨论、思考题、作业：讨论：1、哪些函数不是初等函数？ 2、怎样把复合函数分解成简单函数？作业： 习题1-1 4， 13，15，16教学总结：
