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1、第 6 讲 数的整除性（二）这一讲主要讲能被 11 整除的数的特征。一个数从右边数起，第1，3，5，位称为奇数位，第2，4，6，位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位 是奇数位，十位、千位、十万位 是偶数位。例如 9 位数 768325419 中，奇数位与偶数位如下图所示：能被 11 整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除 。例 1 判断七位数 1839673 能否被 11 整除。分析与解 ：奇数位上的数字之和为 1363=13 ，偶数位上的数字之和为 897=24 ，因为 24-13=11 能被 1
2、1 整除，所以 1839673 能被 11 整除。根据能被 11 整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。一个数除以 11 的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以 11 的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加 11 的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。例 2 求下列各数除以 11 的余数：（ 1）41873 ； （2）296738185 。分析与解 ：（ 1）（483）（ 17） 11 =71107，所以 41873 除以 11 的余数是 7。（ 2）奇数位之和为 26315=17 ，偶数位之和为9788
3、32。因为 1732，所以应给 17 增加 11 的整数倍，使其大于 32。（ 17+112）-32 7，所以 296738185 除以 11 的余数是 7。需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以 11，所得余数与 11 的差即为所求。如上题（2）中，（ 32-17 ）1114，所求余数是 11-4=7 。例3 求除以11的余数。分析与解 ：奇数位是 101 个 1，偶数位是 100 个 9。（ 9100-1101）11 =79911=727 ，11-7=4 ，所求余数是4。例 3 还有其它简捷解法，例如每个“19
4、奇”偶数位上的数字相差 9-18， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差 899=8911，能被 11 整除。所以例 3 相当于求最后三位数 191 除以 11 的余数。例 4 用 3，3，7，7 四个数码能排出哪些能被 11 整除的四位数？解：只要奇数位和偶数位上各有一个3 和一个7 即可。有3377 ，3773 ，7337 ，7733 。例 5 用 19 九个数码组成能被 11 整除的没有重复数字的最大九位数。分析与解 ：最大的没有重复数字的九位数是987654321 ，由（ 97531）-（8642） 5知， 987654321 不能被 11 整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整
5、低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为532=11，这个数就能被11 整除。调整 “4321”，只要 4 调到奇数位， 1 调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。此时，4，3 在奇数位，2，1 在偶数位，后四位最大是2413 。所求数为 987652413 。例6 六位数能被99整除，求 A和B。分析与解 ：由 99=911 ，且 9 与 11 互质，所以六位数既能被9 整除又能被 11 整除。因为六位数能被9 整除，所以A+2+8+7+5+B 22+A+B应能被 9 整除，由此推知 AB5 或 14。又因为六
6、位数能被 11 整除，所以（ A85）（ 27B） A-B4应能被 11 整除，即A-B+4=0 或 A-B+4=11 。化简得 B-A 4 或 A-B 7。因为 A+B 与 A-B 同奇同偶，所以有在（ 1）中， A5与 A7不能同时满足，所以无解。在（ 2）中，上、下两式相加，得（ BA）（ B-A） 144，2B18，B=9。将 B=9 代入 AB=14 ，得 A5。所以， A=5，B9。练习 61为使五位数 6295 能被 11 整除， 内应当填几？2用 1，2，3，4 四个数码能排出哪些能被11 整除的没有重复数字的四位数？3求能被 11 整除的最大的没有重复数字的五位数。4求下列各数除以11 的余数：（ 1）2485 ； （2）63582 ； （3）987654321 。5求除以 11 的余数。6六位数5A634B 能被 33 整除，求 A+B 。7七位数3A8629B 是 88 的倍数，求 A 和 B。
