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1、构造等差数列或等比数列（公开 课）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构 造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例1设各项均为正数的数列的前n项和为S，对于任意正整数n，都n有等式：成立，求的通项an他f +2肛冋=4ShJiaJi解：42%=佔心，（比十叫-1）（叫一叫4一2） = 0，.叫+工0，气一蕊心二即仏是以2为公差的等差数列，且此+2呦=4的二旳=2叫j =2 + 2(ze 1) = 2n例2 数列&中前n项的和乞二加一叫，求数列的通项公式碍.=1当nM2时,二 一瓦4二加比一 2（皿一1） _叫_1= F* +2+叫
2、包叫二扌叫J +1二叫 _2二2）令“产叫一2,则，且A1 = l-2 = -l和是以弓为公比的等比数列，九1X=（2）2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后釆用迭加的方法 就可求得这一数列的通项公式.例3设仏是首项为1的正项数列，且必必才叫一叫二= , (nEN*),求数列的通项公式解：由题设得(叫+心)随_初=0 a、+(2 住1) +(a?饥2)+ _在用一1)= 1 +2 +3 + + 农= -2例4数列&中，幻=1，幻=3 ,且a曲=(n + 3)叔_ (“ + 2)a尼，(口丘N*),求通项公式色解：+2 _+1 = ( + 2)(+1 - ) =
3、( +2)( + 1)( 一花=(+2)( + 1)4x34 幻)=(加+2)! 6住=幻+(宓幻)+ (沟一幻)+ (皱化泾)=1 + 2!+3!+別WN*)3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.1例5数列&中，幻2 ,前n项的和弘=也,求咳鯉 5 =s; 必=X=(2 -1K =(-i)2_i/VT 仇 n 13+11瓯 41 (h+1)(h+2)4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题 得以解决.例6 设正项数列满足，叫他廿（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设巧=logj + l，
4、则 =2九乩是以2为公比的等比数列，办1吨亠妇=1 龙2 =2，1叱；“+1 = 2心，log卜例7 已知数列叫中，叫,码=7 J _ 3nM2时，求通项公式.解3斗+1.5-1，两边取倒数得耳13+ %1 4可化为等差数列关系式.丄=丄己竺艺aa-l -144求数列通项公式的十种方法、公式法例1已知数列满足a = 2a + 3nn+1n，求数列a 的通项公式。n解:a = 2a + 3 x 2，,两边除以n+1na 3 , + 2n+12n2a a _ 3，故数列a 是以土 2 1为首项，以3为公+1 丁 一n _ _ 12n+1 2n 22n21 22差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
5、故数列a是以a才-2=1+(n -1)2，所以数列a的通项公式为na = (- n - -)2n 说明数列a是等差数评注：本题解题的关键是把递推关系式a = 2a + 3 x 2n转化为九-4卩n+1n2n+1 2n 22n列，再直接利用等差数列的通项公式求岀2-=1+(n -1)2，2n2进而求出数列a的通项公式。n二、累加法例2已知数列a 满足a _ a + 2n +1, a _ 1，求数列nn+1 n1的通项公式。a n解：由a = a + 2n +1 得 a- a = 2n +1 则n +1nn +1na = (a a ) + (a a ) + L + (a a ) + (a a )
6、+ an nn 1n 1n 232211= 2(n 1) +1+ 2(n 2) +1+L +(2x2+1)+(2x1+1)+1=2(n 1) + (n 2) + L + 2 +1 + (n 1) +1=+(n1)+1=(n 1)(n +1) +1所以数列a 的通项公式为a = n2。nna = a + 2n +1 n+1n进而求出转化为a a = 2n +19n+1n评注:本题解题的关键是把递推关系式，即得数列的通(a a ) + (a a ) + L + (a a ) + (a a ) + aa n n1 n1 n23 2 2 1 1n项公式。例3已知数列满足a = a + 2x3，+ 1,
7、a = 3，求数列a的通项公式。n解：由nn+1 n1a = a + 2 x 3” +1 得 a a = 2 x 3” +1 则n+1nn+1 na = (a a ) + (a a ) + L + (a a ) + (a a ) + annn 1n1n232211=(2 x 3n-1 +1) + (2 x 3n-2 +1)+L + (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n1 + 3n2 + L + 32 + 31) + (n 1)+3宀3(1 3n-1)/八 c=2+ (n 1) + 31 3=3n 3 + n 1 + 3=3n + n 1所以 a = 3” + n
8、 1n评注：本题解题的关键是把递推关系式a = a + 2 x 3n +1 转化为n +1na a 2x3+1，进而求出 n+1 n,即得数列 的a (a a ) + (a a ) + L + (a a ) + (a a ) + aa n n n1 n1 n23 2 2 1 1n通项公式。例4已知数列a满足na 的通项公式。nan+1=3a + 2 x 3n +1，a = 31解:a _ 3a + 2 x 3n +1 两边除以 3 n+Jn+1n3n+1a2n _+3n+13n33n+11，故a 4 a 、4 a 、4 a 、_ (n n-1) + (n-1 n 2 ) + (n 2 n 3
9、) + L + 3n aa3n-23n-2 3n-3n-1n-1_(2 1、( 21、_(3 + ) +(3 + 31) +2(n -1) z 11+ ( + +-3n 3na + 3，求数列a21，n +3n33n+12+丄)+33 323L +丄+L + 丄)+13n 3n3n-13n-232因此 a _ 2(n -1) + 37(1-3门)+ 1 _ 2n + 1191-3322 x 3n3n则 211a = x n x 3n + x 3n 一 .n 322评注：本题解题的关键是把递推关系式a 二 3a + 2 x 3n +1 转化为n+1na a 2n I 1n 1，进而求出3n+13
10、naaaaaa(n 一 n1)+ (n-1 一 n 2 ) + (n 2 一 n3)+ L + 3n3n-13n-13n - 23n - 23n-333n+1+仝，即得数列33n的通项公式，三、累乘法例5已知数列a满足na= 2(n+1)5n xa ，a = 3n +1n 1，求数列a n的通项公式。解:因为，所以a= 2(n + 1)5n x a， a = 3n+1n 1，则 4 = 2(n + 1)5n ,anaan 1 L Taan-22a2 aa 1iaa = nn an-1=2(n-1 + 1)5n-12(n-2 +1)5”-2丄-2(2 + 1)x522(1+1)x51x3=2n-
11、1n(n - 1)丄 -3 x 2 x 5(n-1)+(n-2) +L + 2+1 x 3n (n _1)=3 x 2n_1 x 5 2 x n!所以数列a 的通项公式为a = 3x 2-1 x5岁x n!.nn评注：本题解题的关键是把递推关系转化为人=2(“ +1)5，进而求出丘aann-1数列a的通项公式。naan 1 L :aan-22a= 2(n + 1)5n x an+1n即得a 92 aa 11例6(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列a 满足n的通项公式。a = 1，i求a = a + 2a + 3a + L + (n - 1)a (n 2) 9 勺n 123n 一1
12、a n解：因为a = a + 2a + 3a + L + (n 一 1)a (n 2) n12_n-1所以a = a + 2a + 3a + Ln+1123用式一式得+ (n 一 1)a + nan-1nan+1则 a= (n + 1)a (n 2)n+1n故九=n + 1(n 2) a所以 a a an!a lL f a n(n 1)L 4x 3a a .n a aa 2222n 一1n 一 22a a + 2a + 3a + L + (n 一 1)a (n 2)，取n 2得a a + 2a ，人则n 123n-1212，代入得a 1.3 4 5丄 n丄。n 2，又知a al a 1所以，a的通项公式为n2 1 1n + 1(n 2)，进而求出 an，从而可得当n 2时,a的表达式，最后n转化为评注：本题解题的关键是把递推关系式a = (n + 1)a (n 2)n+1na a
