word初三数学相似三角形〔一〕相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割2. 会用平行线分线段成比例定理进展有关的计算、证明，会分线段成比3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点容是相似三角形的判定定理和性质定理以与平行线分线段成比例定理本节的难点容是利用判定定理证明两个三角形相似以与相似三角形性质的应用相似三角形是平面几何的主要容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质〔二〕重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念： / 在比例式 abc(a： b c：d )中， a、 d叫外项， db、c叫项，a、c叫前项，b、d叫后项， d叫第四比例项，如果 b=c，那么b叫做a、d的比例中项2把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，使 AC=AB BC，叫做把线段 AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：①根本性质： a cb d②合比性质： a cb dad bca b c d b d③等比性质： a c ⋯b dm(b d ⋯nn≠ 0)a c ⋯ m a b d ⋯ n b3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥l 3 AB如此 BCDE ， AB EF ACDE ， BC DF ACEF，⋯DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 〔或两边的延长线〕 所得的对应线段成比例③定理：如果一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边 〔或两边的延长线〕 相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1. 〔1〕在比例尺是 1：8000000的《中国行政区》地图上，量得 A、B两城市的距离是7.5 厘米，那么 A、B两城市的实际距离是 千米。
〔2〕小芳的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长 2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，如此此建筑物的高是 米解： 这是两道与比例有关的题目，都比拟简单〔1〕应填 600 〔2〕应填14.4例 2. 如图， DE∥BC，EF∥AB，如此如下比例式错误的答案是： A. AD AEAB ACCE EAB.CF FBC. DE ADBC BDD. EF CFAB CB分析： 由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正确而不能得到 DEBCAD ，BD故应选 C利用平行线分线段成比例定理与推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线， C中DE很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC例这一性质来写结论，即 DEBCAD AEAB AC例 3. 如图，在等边△ ABC中，P为BC上一点， D为 AC上一点，且∠ APD=60，BP 1，CD2，求△3ABC的边长解： ∵△ ABC是等边三角形∴∠ C=∠ B=60又∵∠ PDC=∠ 1+∠ APD=∠1+60∠ APB=∠ 1+∠ C=∠ 1+60∴∠PDC=∠APB∴△PDC∽△APB∴ PC CDAB PB设 PC=x， 如此 AB=BC=1+x2x∴1 x3，∴x 2，1∴ AB=1+x=3。
∴△ABC的边长为 3例 4. 如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD都是边长为 a的正方形，〔 1〕求证：△ AEF∽△ CEA〔 2〕求证：∠ AFB+∠ ACB=45分析： 因为△ AEF、△ CEA有公共角∠ AEF故要证明△ AEF∽△ CEA只需证明两个三角形中，夹∠ AEF、∠CEA的两边对应成比例即可证明：〔1〕∵四边形 ABEG、GEFH、HFCD是正方形∴ AB=BE=EF=FC=，a∠ABE=90∴AE 2a，EC 2a∴ AEEF2a 2，EC 2a 2a AE 2a∴ AE ECEF AE又 ∵∠ CEA=∠ AEF∴△ CEA∽△ AEF〔 2〕∵△ AEF∽△ CEA∴∠ AFE=∠ EAC∵四边形 ABEG是正方形∴AD∥BC，AG=G，E AG⊥GE∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG∴∠ AFB+∠ ACB=45例 5. ：如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点 O，EF经过点 O且和两底平行， 交 AB 于 E， 交CD 于 F求证： OE=OF证明： ∵AD∥ EF∥BCOE∴ BCAE， OE EBAB AD ABOEADAEABEBABABAB11AD 1OE 11BCADOF∴ OEBC∴ 1BC同理：∴ 1 1OE OF1∴ OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：①AD∥EF∥BC1 1 1AD BC OE②AD∥EF∥BC OE OF1 EF2③AD∥EF∥BC1 1 1 12 即 1 1 2AD BC OE1EF OF2AD BC EF这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD、BC、EF中，任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。
例 6. ：如图，△ ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F求证： AE ACAF AB分析： 观察 AE、AF、AC、 AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进展代换，通过△ABD∽△ADE，可得： ABADAD ，于是得到AEAD2AE AB，同理可得到AD 2AF AC，故可得：AE AB AF AC，即 AE ACAF AB证明： 在△ ABD和△ ADE中，∵∠ADB=∠AED=90∠BAD=∠DAE∴△ ABD∽△ ADE∴ AB ADAD AE2∴ AD=AE AB同理：△ ACD∽△ ADF2可得：AD=AF AC∴ AE AB=AF AC∴ AE ACAF AB例 7. 如图，D为△ABC中 BC边上的一点， ∠CAD=∠B，假设 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC的长分析： 此题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角〞 的根本图形，我们可以由根本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决解： 在△ ADC和△ BAC中∵∠CAD=∠B，∠C=∠C∴△ADC∽△BAC∴ AD DC AC AB AC BC又∵ AD=6， AD=8， BD=7∴ DCACAC 37 DC 4DC 3即 AC 4AC 3解得： DC=97 DC 4例 8. 如图，在矩形 ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，2求证：AG=AF FC证明： 在矩形 ABCD中， AD=BC，∠ADC=∠BCE=90又∵ E 是 CD的中点，∴ DE=CE∴ Rt△ADE≌Rt△BCE∴ AE=BE∵ FG∥AB∴ AE AGBE BF∴ AG=BF在 Rt△ ABC中， BF⊥ AC于 F∴ Rt△BFC≌Rt△AFB∴ AF FBBF FC2∴ BF=AF FC2∴ AG=AF FC例 9. 如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，假设∠ BCD的平分线 CH⊥AB于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为 21，求△HBC的面积。
分析： 因为问题涉与四边形 AHCD，所以可构造相似三角形把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决解： 延长 BA、CD交于点 P∵ CH⊥AB， CD平分∠ BCD∴ CB=CP，且 BH=PH∵ BH=3AH∴ PA：AB=1：2∴ PA：PB=1：3∵ AD∥BC∴△ PAD∽△ PBC∴S△ PAD ：S△PBC 1：9∵S△PCH12 S△PBC∴S△PAD S四边形AHCD 2：7∵S四边形AHCD 21∴S△PAD 6∴ S△PBC∴S△ HBC541S△2PBC 27a 2b 9一、填空题1.2a b5 ， 如此a：b 2. 假设三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，如此其余两边之和是cm3. 如图，△ ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点， BC=6，如此 DE= ；△ADE与△ABC的面积之比为： 4. 线段 a=4cm，b=9cm，如此线段 a、b的比例中项 c为cm5. 在△ABC中，点 D、E分别在边 AB、AC上，DE∥BC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=6. 三个数 1，2， 3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，如此这个数是7. 如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，假设 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，如此 EF=8. 如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，∠A=90 ，BD⊥CD，AD=6，BC=10，如此梯形的面积为：二、选择题1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么。