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1、第八章 空间解析几何与向量代数教学目的：1 、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2 、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法。5 、 会求平面与平面、 平面与直线、 直线与直线之间的夹角， 并会利用平面、 直线的相互关系 （平 行、垂直、相交等）解决有关问题。6、会求点到直线以及点到平面的距离。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。8、
2、了解空间曲线的参数方程和一般方程。9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。教学重点：1 、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。教学难点：1 、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、空间曲线在坐标面上的投影4、点到直线的距离；5、二次曲面图形；6、旋转曲面及柱
3、面的方程。8 1 向量及其线性运算一、教学目的与要求：1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。二、重点（难点） ： 向量概念、向量的运算三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、向量概念向量： 既有大小 又有方向 这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB 向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、
4、 r 、 v 、 F 或 a 、 r 、 v 、 F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量并称这种向量为自由向量简称向量 因此 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同 则说向量 a 和 b 是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a 、 AB 的模分别记为 |a|、 |a| 、 |AB |单位向量模等于1 的向量叫做单位向量零向量 模等于 0 的向量叫做零向量记作 0 或 0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行
5、 向量 a 与 b 平行 记作 a / b零向量认为是与任何向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线类似还有共面的概念设有k（k 3）个向量当把它们的起点放在同一点时 如果k个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面二、向量的线性运算1 向量的加法向量的加法设有两个向量a 与 b 平移向量使b 的起点与 a 的终点重合此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 c a+b .三角形法则平行四边形法则当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使a 与 b 的起点重合以 a 、
6、 b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)故n个向量ai a2 an(n 3)相加可写成由于向量的加法符合交换律与结合律ai a2an并按向量相加的三角形法则 可得n个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的起点相这个向量即为所求继作向量ai a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量的和的负向量记为负向量 设a为一向量 与a的模相同而方向相反的向量叫做a2 .向量的减法我们规定两个向量b与a的差为b a b ( a)即把向量 a加到向量b上便得b
7、与a的差b a 特别地当b a时有显然ba ( a) 0任给向量AB及点。有AB AO OB OB OA因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b| |a| |b|及|a b| |a| |b|其中等号在b与a同向或反向时成立3 .向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a与实数的乘积记作a规定a是一个向量 它的模| a| | |a|它的方向当 0时与a相同当0时与a相反当 0时| a| 0即a为零向量 这时它的方向可以是任意的特别地当 1时有1a a ( 1)a a运算规律(1)结合律(a)(
8、a) ( )a ；(2)分配律(a b) a)a baa;例1在平行四边形ABCD 中设 AB aAD b试用a和b表示向量MA、 MB、 MCMD其中M是平行四边形对角线的交点解:由于平行四边形的对角线互相平分所以因为又因由于ACMAMCMB2 AM2(aMABDMD即(a b)2 MAb)所以 MC2 MD所以i(aMDb)2(ba)所以 MB 1 (a b)向量的单位化设a 0则向量且是与a同方向的单位向量 |a|记为ea于是a |a|ea向量的单位化0则向量且是与a同方向的单位向量 |a|记为ea于是 定理 证明a | a | ea1设向量a 0那么向量b平行于a的充分必要条件是存在唯
9、一的实数条件的充分性是显然的下面证明条件的必要性设b/a取| |回当b与a同向时 取正值当b与a反向时 取负值即ba这是因为此时b与a同向|a|I a|再证明数()a 0 即| 因|a| 0故|同师a| |b|a|的唯一性设b a又设b a两式相减便得I|a| 00即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点。及单位向量i确定了数轴Ox对于轴上任点P对应一个向量OP 由OP/i根据定理1必有唯一的实数 x使OP xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值)并知OP与实数x 对应 于点 P 向量 OP xi 实数 x从而轴上的点P与实数x有对应的关系 据此 定义实数x为轴上点P的坐标由此可知 轴上点
10、 P 的坐标为 x 的充分必要条件是OP xi三、空间直角坐标系在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量i 、 j 、 k 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系注 : (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上 而z轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为 坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面 另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部
11、分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 它位于xOy 面的上方 在 xOy 面的上方 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母 I、 II 、 III 、 IV 、 V、 VI 、 VII 、 VIII 表示向量的坐标分解式r OM xi yj zk称为向量 r 的坐标分解式xi 、 yj 、 zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)有序数x、y、z称为向量r(在坐
12、标系Oxyz)中的坐标 记作r (xyz)有序数x、y、z也称为点M(在坐标系 Oxyz)的坐标记为M(x y z)向量 r OM 称为点 M 关于原点 O 的向径 上述定义表明 一个点与该点的向径有相同的坐标 记号 (x y z)既表示点 M 又表示向量OM .坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征例如 点 M 在 yOz 面上 则 x 0 同相 在zOx 面上的点 y 0 在 xOy 面上的点 z 0 如果点 M 在 x 轴上 则 y z 0 同样在 y 轴上 ,有 z x 0 在 z 轴上 的点 有 x y 0 如果点 M 为原点 则 x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算设
13、 a (ax ay az) b (bx by bz)即 a axi ayj azk b bxi byj bzk则 a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk)(ax bx)i (ay by)j (az bz)k(ax bx ay by az bz)a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) (ax bx)i (ay by)j (az bz)k (ax bx ay by az bz) a (axi ayj azk) (ax)i ( ay)j ( az) k (ax ay az)利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (ax ay az) 0 b (bx by
14、 bz)向量b/a b一 一L bybb/a (bx by bz) (ax ay az)于 ax ayaz例2求解以向量为未知元的线性方程组 5x 3y a3x 2y b其中 a (2 1 2) b ( 1 1 2).解如同解二元一次线性方程组可得x 2a 3by 3a 5b以a、b的坐标表示式代入即得x 2(2 12) 3( 1 1 2) (7 1 10)y 3(2 1 2) 5( 1 1 2) (11 2 16)例3已知两点A(x1y1z1)和B(x2y2z2)以及实数1在直线AB上求一点M使AM MB解由于 AM OM OA MB OB OM因此 OM OA (OB OM)从而OM十(OAOB)(Y这就是点x2 Xix2一M的坐标Xx2 )1点M的有向线段AB的中点其坐标为x均x21V2 z2 y 2Zi z22五、向量的模、方向角、投影1 .向量的模与两点间的距离公式设向量r (xy z)作OM r 则r OM OP OQ OR按勾股定理可得|r| |OM | . |OP|2 |OQ |2 |OR|2设 OP xi OQ yj OR zk有 OP| |x|OQ| |y| |OR| |z|于是得向量模的坐标表示式|r| -.x2 y2 z2设有点 A(Xi yi zi)、
