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1、第9课时 平行直线（二）教学目标：使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。教学重点、难点：等角定理及其推论.等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法平移法。教学过程：1复习回顾：师上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其
2、特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？生甲空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.生乙平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.师好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：（如图）在正方体AC1中，求证BC1 AD1.分析：要想证明BC1 AD1，只要证明生只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.师怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？生只要证明C1D1 AB就行了.师怎样证
3、明C1D1 AB呢？生因为C1D1 A1B1,AB A1B1，由平行公理C1D1 AB.师至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.证明：C1D1 AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 AD1师通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 DC1呢？生（观察，答）可以.师为什么？生道理与刚才的证明相同.师可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？生可以.师大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？生（让学生答一答是有好处的）.师到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗
4、？平面有大小吗？生直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.师直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？生两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.师很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学习的平行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题
5、，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？生可以.师从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.师大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？（学生不知该怎样回答）师今天我们就来讨论这个问题.2新课讨论：师请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.（学生动手、观察）师一艘大货轮与一只小船
6、在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.师我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.已知：BAC和BAC的边ABAB，ACAC，并且方向相同，（ABAB且方向相同，即的方向相同，ACAC且方向相同，即的方向相同）. 求证：BACBAC.分析：对于BAC和BAC在同一平面内的情形，在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个角不在同一平面内的情形.师在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？（学生回忆、思考
7、、发言）生对顶角相等；同腰三角形的两底角相等；平行线中的同位角（或内错角）相等；全等三角形的对应角相等；相似三角形的对应角相等，等等.师现在BAC与BAC是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？（同学们议论、发言）生因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.师同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，
8、既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.在AB、AB、AC、AC上分别截取ADAD、AEAE，连结DE、DE，得到ADE和ADE我们来看这两个三角形是否全等.生这两个三角形已经有两条边对应相等（ADAD，AEAE，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.师再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DEDE了.大家看怎样来证明DEDE呢？DE、DE孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？生（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、DE联系起来，连结DD、EE，若能证明DEED是平行四边形就好了师怎样证明四边形DEED是平行四边形呢？大家再想想办
9、法看.生只要证明DDEE就行了.师要想证明DDEE，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使DD、EE都和它平行并且相等呢？（同学们观察图形、思考分析）生连结AA.在四边形AAEE中，因为AE=AE，AEAE,所以四边形AAEE是平行四边形，所以EEAA，同样道理可得DDAA，由平行公理DDEE.师至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）证明：在AB、AB、AC、AC上分别截取ADAD，AEAE，连DE、DE，连DD、EE、AA.师通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，
10、并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.师请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图
11、形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。3课堂练习：课本P26练习.4课堂小结：本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，特别要注意条件的把握对应的两边分别平行并且方向相同.（方向完全相反、方向一同一反，结论是怎样的，请同学们下去自行探讨）另外要注意，平面图形的性质并不是都可以推广到空间的，这点绝不能忽视.5课后作业：1、E、F、G、H依次是空间四
12、边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设ACBDa，ACBDb，求EG2FH2的值。2、如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是DC、DA的中点。（1）求证：四边形MNA1C1是梯形（2）求四边形MNA1C1的面积。1.预习课本P26P282.预习提纲（1）异面直线的概念.（2）异面直线怎样画、关键显示什么？（3）异面直线所成角的定义是什么？（4）异面直线所成角的范围是怎样的？（5）怎样的两条异面直线互相垂直？（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？（9）两条异面直线的公垂线有几条？（1
13、0）两条异面直线的距离的定义是什么？ 思考与练习：1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.提示：证明方法与等角定理的证法相同.2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_.答案：相等或互补3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_.答案：不能确定4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？答案：CBB1与DAA1的两边平行且方向相同；CBB1与DD1A1、CC1B1的两边平行且方向相反；CBB1与ADD1、AA1D1的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反.5.如图，已知线段AA、BB、CC相交于O，且.求证：ABCABC.证明：AOBABCABC.- 6 -
