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1、铅球投掷中的数学模型胡永安湖北省来凤县接龙中学445700我们知道，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264 kg(16磅)重的铅球，在直径为2.135祖的投掷圆内，将铅球投掷在45 o的有效扇形区域内，以铅球的落地 点与投掷圆间的距离作为运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离是人们最关心的问题。而对于教练和 运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得更远。影响铅球投掷距离的主要因素有 哪些呢？在这些主要因素中，哪个更为重要呢？铅球投掷中涉及的变量很多，为简化问题，我们将铅球视为一个质点，在铅 球运行过程中忽略空气阻力的影响，并假设铅球出手时的出手高度h、出手速度 八出手角度0是相互独立的
2、。铅球出手后就在一个竖直平面内作斜上抛运动，我们以铅球出手点的铅垂方 向为y轴，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴，建立如图平面直角坐 标系，求出铅球投掷距离L关于出手高度h、出手速度八 出手角度0三者的函 数关系模型。我们先求出铅球出手后的运动轨迹方程。设铅球出手后在时刻r的动点坐标为(x, y)，由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程：x = v cos 0 ty = v sin 0 t 一一 gt 2 + h2消去参数t，得gy = 0 x2 + tan 0 x + h当铅球落地时，令y = 0，得方程2 v2 cos 2 0由求根公式解得x2 + tan 0 x + h = 0v
3、2 sin 20 * | v2 sin 202 hv 2 cos 2 02 g 2 gg舍去负根，得铅球的投掷距离数学模型v2 sin 20| v2 sin 202 hv 2 cos 2 02 g 12 g)g由此数学模型式可知，铅球的投掷距离乙与出手高度h、出手速度v和出手 角度0有关。此数学模型是否能较好地与实际情况吻合？我们由一组数据来对比理论成 绩与实际成绩，并计算理论成绩与实际成绩的误差百分率(在理论计算时我们取 重力加速度重力加速度g = 9.8 ms 2)，如表1：姓名出手高度(m)出手速度(mj s)出手角度(o)实际成绩(m)理论成绩(m)与实际误差李梅素2.0213.164
4、0.2719.4019.56+ 0.8%李梅素2.0013.5138.6920.3020.40+ 0.5%黄志红2.0213.5837.7520.7620.531.1%隋新梅2.0413.9539.0021.6621.68+ 0.1%李梅素1.9514.0835.1321 .7621.501.2%从表1的数据我们可以看出，由铅球投掷距离模型计算的结果与实际投掷距 离是比较吻合的。对于一个运动员来说，投掷时的出手高度h是相对稳定的，这主要取决于运 动员的身高、臂长以及对专业技术的掌握程度。下面我们用数值摸拟来探究出手速度v与出手角度0对投掷距离L的影响。 根据我国优秀铅球运动员出手高度h、出手速
5、度、出手角度0三个因素的具体 情况，我们令出于高度h = 2.0m，重力加速度g = 10 ms 2，出手速度v在10 m3-15 m/s之间变化，出手角度0在37 o - 43 o之间变化。通过计算得到表2：角度 距离、 速度37 o38 o39 o40 o41 o42 o43 o极差10 m，s11 .7811.8111 .8211 .8311 .8311 .8211 .790.0511 mi s13.8613.9013.9313.9513.9613.9513.930.1012 mj s16.1216.1816.2316.2616.2816.2816.260.1613 mi s18.571
6、8.6518.7118.7618.7918.7918.780.2214 m： s21 .2021.3021.3921.4521.4921.5121.500.3115 mf s21 .8922.0822.2522.3922.5122.6022.660.77极差10.1110.2710.4310.5610.6810.7810.87/从表2可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量 在0.05 - 0.77 m之间，出手速度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量 在10.11-10.87 m之间。这个计算结果表明，出手速度是影响投掷距离的主要因 素。铅球运动员要在比赛中取得较好成绩，在平时训练时应集中主要精力来增加 投掷的出手速度。运动员在实际投掷铅球的出手角度一般是在38 o - 42 o之间。参考文献：1孙维刚.孙维刚谈全班55%怎样考上北大考上清华M.长春：北方妇女 儿童出版社，1999. 92田径教材编写组编.田径M.北京：高等教育出版社，1994.6
