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1、抽象函数中常考的问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是_。 分析：因为相当于中的x，所以，解得或。 例2. 已知的定义域为，则的定义域是_。 分析：因为及均相当于中的x，所以 (1)当时，则 (2)当时，则 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。 例3. 已知的
2、定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函数。 例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。 证明：设图象上任意一点为P（） 与的图象关于原点对称， 关于原点的对称点在的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。图1
3、 例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下： 任取 因为在上是减函数，所以。 又是偶函数，所以 ， 从而，故在上是增函数。图2 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。 故是周期函数，2c是它的
4、一个周期。 5. 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 例8. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_。 分析：在条件中，令，得 ， 又令， 得， 例9. 已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是 ， 所以 故是以8为周期的周期函数，从而 6. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。 例10. 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是_。
5、 分析：且， 又时，是增函数， 是偶函数， 故 7. 讨论方程根的问题 例11. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_。 分析：由知直线是函数图象的对称轴。 又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。 8. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。 例12. 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有 9. 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 例13. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_对称。 分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。 例14. 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点_。 分析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。 10. 求解析式 例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数 A. B. C. D. 分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。 点关于直线的对称点适合，即。 又， 即，选B。
